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1、3.4互斥事件及其发生的概率案例探究 有3个1 g砝码，3个3 g砝码和2个5g砝码，任意取出2个砝码，想一想，如何求下面三个事件的概率？ （1）两个砝码重量相同的概率； （2）两个砝码总重为6g的概率； （3）两个砝码总重量不超过8g的概率. 解析：（1）记“两个砝码重量相同”的事件为A “两个砝码重量都是1g”的事件为A1. “两个砝码重量都是3g”为事件A2，“两个砝码重量都是5g”为事件A3，A1、A2、A3是互斥的. 显然A=A1+A2+A3，由前面知识得P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.（为什么） 由互斥事件的加法公式，有P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=.
2、 （2）记“两个砝码总重量为6g”为事件B “两个砝码中一个砝码为1g，另一个砝码为5 g”为事件B1，“两个砝码重量都为3g”为事件B2，B1，B2互斥. 显然B=B1+B2. P（B1）=，P（B2）=.（为什么） P（B）=P（B1）+P（B2）=+=. （3）正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件. 设“两个砝码总重量大于8 g”的事件为C“两个砝码总重量不超过8g”的事件为D，则C与D为对立事件.两个砝码总重量超过8g，其中只包括两个砝码都是5g的情况，于是P（C）=. P（D）=1-P（C）=1-=.自学导引 1不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusive events）.
3、 2如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）. 一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥，则P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）. 3两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（complementary events）.事件A的对立事件记为A 4对立事件A与A必有一个发生，故A+A是必然事件，从而P（A）+P（）=P（A+）=1. 由此，我们可以得到一个重要公式： P（）=1-P（A）.5体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：优85分及以上
4、9人良7584分15人中6074分21人不及格60分以下5人 （1）体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A，B，C，D则A，B，C，D之间的关系为彼此互斥. （2）若将“体育成绩及格”记为事件E，则E与D为对立事件. 6互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.疑难剖析 【例1】 判断下列每对事件是否为互斥事件、对立事件，并说明道理. 从扑克牌40张（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1
5、10各10张）中，任取一张. （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”. 思路分析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否不能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，再要考察它们是否必有一个发生. 解：（1）是互斥事件，不是对立事件. 道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生.这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”.因此，二者不是对立事件. （2）既是互斥事件，又是对立事件. 道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“
6、抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，并且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件. （3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件. 思维启示：“互斥事件”是“对立事件”是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件.因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.也就是说，“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件.“对立事件”是“互斥事件”
7、的充分不必要条件. 变式训练：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件. （1）恰有1名男生与2名都是男生； （2）至少有1名男生与全是男生； （3）至少有1名男生与全是女生； （4）至少有1名男生与至少有1名女生. 解：（1）因为“恰有1名男生”与“2名都是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当选出的是2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件. （2）因为选出的是2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件. （3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它
8、们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立. （4）由于选出的是1名男生1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件. 【例2】 射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率. 思路分析：“射中10环”“射中9环”“射中7环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的并（和）”的概率公式求解. 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为
9、A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E是彼此互斥事件. （1）射中10环或9环的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52. （2）至少射中7环包括射中10环或9环或8环或7环，于是至少射中7环的概率为P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87 （3）射中环数不足8环包括射中7环或射中7环以下，于是射中环数不足8环的概率为P（D+E）=P（D）+P（E）=0.16+0.13=0.29. 思维陷阱：抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数
10、”，事件B为“向上的数不超过3”，求P（A+B）. 错解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A5则 P（A）=P（A1）+P（A3）+P（A5）=+=， P（B）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=， P（A+B）=P（A）+P（B）=+=1. 错因分析：上述解法错误的原因是：A、B两事件不是互斥事件，错误地运用了互斥事件的概率公式. 正解：记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A5，这四个事件彼此互斥.故 P（A+B）=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A5）=+=. 思维启示：公式P（A+B）=
11、P（A）+P（B）只有在A、B互斥时才可使用，A、B两事件不互斥就不能使用这一公式.同学们在应用这一公式求解时，首先要判断准确是否是互斥事件，然后再应用公式，要避免盲目地、机械地应用公式. 【例3】 一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率. 解法1：设A表示“掷3次硬币出现正面”，表示“连续掷3次硬币”，则=（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，正，正），（反，反，反） 有8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且 A=（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
12、（正，正，正） 事件A有7个基本事件组成， 因而P（A）=. 解法2：设A1表示“掷3次硬币有一次出现正面”，A2表示“掷3次硬币有两次出现正面”，A3表示“掷3次硬币有三次出现正面”，A表示“掷了3次硬币出现正面”.显然A=A1+A2+A3，同解法一容易得出P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=， 又因为A1、A2、A3彼此是互斥的，所以： P（A）=P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=+=. 解法3：在本例中，显然A表示“掷3次硬币，三次均出现反面”的事件，且P（）=，根据P（A）+P（）=1. P（A）=1-P（）=1-=. 思维启示：（1）会用列举法计算一些随
13、机事件所含的基本事件数. （2）求某些较为复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再利用公式P（A）=1-P（A）计算. 变式训练：口袋中有若干红球、黄球与蓝球，从口袋中任意摸一球，摸出红球的概率为0.45，摸出黄球的概率为0.33，求： （1）摸出红球或黄球的概率； （2）摸出蓝球的概率. 解：记事件A为“摸出红球”，B为“摸出黄球”，C为“摸出蓝球”. （1）A与B是互斥事件，故摸出红球或黄球的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=0.45+0.33=0.78 （2）事件C与A+B是对立事件，故摸出蓝球的概
14、率是P（C）=1-P（A+B）=1-0.78=0.22.【例4】 如右图所示，设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm.现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上.求硬币落下后与格线有公共点的概率. 解析：记A=硬币落下后与格线有公共点，B=硬币落下后与格线没有公共点，则事件A与B是对立事件.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向正方形网格四边引垂线OM、ON、OP、OQ，垂足为M、N、P、Q.事件B发生的充要条件是|OM|、|ON|、|OP|、|OQ|都大于2cm，即O在与正方形网格同中心的以4cm为边长的小正方形内.所以由几何概率公式得P（B）=.因为A、B是对立事件，所以P（A）=1-P（B）=1-. 答：硬币落下后与格线有公共点的概率是. 思维启示：解决此题的关键是转化为对立事件的概率，寻找与事件B对应的区域是解答此题的难点. 【例5】 在一只袋子中装有4个红玻璃球、3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求： （1）取得两个红球的概率； （2）取得两个绿球的概率； （3）取得两个同颜色的球的概率； （4）至少取得一个红球的概率. 解析：记四个红玻璃球为a1、a2、a3、a4,三个绿玻璃球为b1、b2、b3，第一次抽
