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1、第七节函数的图象2019考纲考题考情1利用描点法作函数图象基本步骤是列表、描点、连线。首先:确定函数的定义域;化简函数解析式;讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线。2利用图象变换法作函数的图象 (3)对称变换: (4)翻折变换:1左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作。如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换。2上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作。但平时我们是对yf(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”
2、。3记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称。(2)函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a,b)中心对称。(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足:f(ax)f(ax),则函数yf(x)的图象关于直线xa对称。 一、走进教材1(必修1P112A组T4改编)李明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶。则与以上事件吻合最好的图象是()ABCD解析距学校的距离应逐渐减小,由于李明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快。答案C2(必修1P24A组T7改编)下列图象是函
3、数y的图象的是()解析其图象是由yx2图象中x0,即2x(x1)(x1)0,解得x或0x,所以当y0时,x,所以函数yx4x22在,上单调递增,在,上单调递减。故选D。解析:令x0,则y2,排除A,B项;令x,则y22,令x,则y22,排除C。故选D。答案D三、走出误区微提醒:函数图象的平移、伸缩法则记混出错;不注意函数的定义域出错。4把函数f(x)lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是_。解析根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为yln。答案yln5设f(x)2x,g(x)的图象与f(x)的图象关于直线yx对称,h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到
4、,则h(x)_。解析与f(x)的图象关于直线yx对称的图象所对应的函数为g(x)log2x,再将其图象右移1个单位得到h(x)log2(x1)的图象。答案log2(x1)6请画出函数yelnx|x1|的图象。解y其图象如图所示。考点一 作函数的图象【例1】作出下列函数的图象。(1)y;(2)y|x1|;(3)y|log2x1|;(4)yx22|x|1。解(1)易知函数的定义域为xR|x1。y1,因此由y的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到函数y的图象,如图所示。(2)先作出yx,x0,)的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y|x1|
5、的图象,如图所示。(3)先作出ylog2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方来,即得到y|log2x1|的图象,如图所示。(4)y图象如图。【互动探究】将本例(4)改为y|x22x1|,其图象怎样画出?解y图象如图所示。函数图象的画法1直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出。2转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象。3图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出。提醒:(1)画函数的图象一定要
6、注意定义域。(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 【变式训练】画出下列函数的图象。(1)yelnx;(2)y|log2(x1)|;(3)y|x2|(x1)。解(1)因为函数的定义域为x|x0且yelnxx(x0),所以其图象如图所示。(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y|log2(x1)|的图象,如图所示。(3)当x2,即x20时,y(x2)(x1)x2x22;当x2,即x20时,y(x2)(x1)x2x22。所以y这是分段函数,每段函
7、数的图象可根据二次函数图象作出(如图)。考点二 识别函数的图象【例2】(2018浙江高考)函数y2|x|sin2x的图象可能是() A BCD解析设f(x)2|x|sin2x,其定义域关于坐标原点对称,又f(x)2|x|sin(2x)f(x),所以yf(x)是奇函数,故排除A、B;令f(x)0,所以sin2x0,所以2xk(kZ),所以x(kZ),故排除C。故选D。答案D1抓住函数的性质,定性分析:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从周期性,判断图象的循环往复;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性。2抓
8、住函数的特征,定量计算:从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题。 【变式训练】(2019武汉市调研测试)函数f(x)e|x|2x2在2,2上的图象大致为()A BC D解析函数f(x)e|x|2x2在2,2上是偶函数,其图象关于y轴对称。f(2)e28,1e280且a1)有且只有4个不同的根,则实数a的取值范围是()A. B(1,4)C(1,8) D(8,)解析因为xR,f(x2)f(2x),所以f(x4)f(2(x2)f(2(x2)f(x)f(x),所以函数f(x)是一个周期函数,且T4。又因为当x2,0时,f(x)x1()x1,所以当x0,2时,f(x)f(x)()x1,于是
9、x2,2时,f(x)()|x|1,根据f(x)的周期性作出f(x)的图象如图所示。若在区间(2,6)内关于x的方程f(x)loga(x2)0有且只有4个不同的根,则a1且yf(x)与yloga(x2)(a1)的图象在区间(2,6)内有且只有4个不同的交点,因为f(2)f(2)f(6)1,所以对于函数yloga(x2)(a1),当x6时,loga88,即实数a的取值范围是(8,)。故选D。答案D当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围。 【题点对应练】1(方向1)已知函数f(x)x|x|2x,则下列结论正确的是()A
10、f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,)Bf(x)是偶函数,单调递减区间是(,1)Cf(x)是奇函数,单调递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数,单调递增区间是(,0)解析f(x)画出函数f(x)的图象,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(1,1)上单调递减。故选C。答案C2(方向1)函数f(x)是定义在4,4上的偶函数,其在0,4上的图象如图所示,那么不等式0,在上,ycosx0。由f(x)的图象知,在上,0。因为f(x)为偶函数,ycosx也是偶函数,所以y为偶函数,所以0,排除D;当x(1,)时,f(x)0,排除A,C。故选B。答案B2(配合例3使用)已知函数f(x)