《高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识巧解学案 新人教a版必修4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识巧解学案 新人教a版必修4(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象疱工巧解牛知识巧学一、正弦函数、余弦函数的图象1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法,作出点(,sin),0,2. 由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角,就能利用几何法作出对应的正弦值sin.如图1-4-1,当02时,在单位圆中对任意的角,它的弧度数恰好等于角所对的弧长AP,我们可设想把单位圆的圆周拉直到x轴上,使A点与原点重合,这时点P就落到x轴上的(,0)点,由于sin=MP,所以平移MP至此,就可得到一点(,sin).也就是说,要画出点P(,sin),只需把角的正弦线MP向右平移,使M点与x轴上表示数的点M1重合,得到线段M1P1,由于点P和P1的纵坐
2、标相同,都等于sin,所以点P1(,sin)是以弧AP的长为横坐标,正弦线MP的数量为纵坐标的点.图1-4-12.正弦函数y=sinx,x0,2的图象(1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx,x0,2的图象.如图1-4-2,在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1,以O1为圆心作单位圆,从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份,过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0,2等分点的正弦线.相应地,再把x轴上从0到2这一段分成12等份,再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了函数y=sinx,x0,2的图象.图
3、1-4-2(2)正弦曲线 根据诱导公式一,终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2的函数y=sinx,x2k,2(k+1),kZ且k0的图象,与函数y=sinx,x0,2的图象的形状完全一致,只是位置不同.我们只需把y=sinx,x0,2的图象左、右平移(每次2个单位),就可得到正弦函数y=sinx,xR的图象(如图1-4-3).图1-4-3正弦函数的图象叫做正弦曲线.(3)余弦曲线 根据诱导公式y=cosx=sin(x+),可知y=cosx与y=sin(x+)是同一函数,而y=sin(x+)的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到,即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位
4、而得到的.如图1-4-4.图1-4-4余弦函数的图象叫做余弦曲线. 事实上,y=cosx=sin(x-),可知余弦函数y=cosx,xR与函数y=sin(x-)也是同一函数,余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位而得到.学法一得 作图象时,函数的自变量要用弧度制,只有自变量与函数值均为实数(即x轴、y轴上的单位统一),作出的图象才正规,且利于应用. 利用正弦线为端点连线作函数图象时,份数越多,图象越精确,取6的倍数最为适宜,它既保证了点的个数足够多,又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点. 由y=sinx的图象变换得到y=cosx的图象,平移的量是不唯一的,平移的方向也是可左
5、可右的.二、“五点法”作草图 通过正弦曲线、余弦曲线可以发现,这些曲线可以按照闭区间,-4,-2,-2,0,0,2,2,4,分段,这些闭区间的长度都等于2个单位长度,并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致.因此,要研究曲线的形状,只需选一个闭区间,在这里,我们不妨选择0,2,显然,有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲线,它们是(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0);对于余弦曲线,它们是(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).因此,在精确度要求不太高时,可先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点
6、法”.学法一得 “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.典题热题知识点一 “五点法”作图例1 用“五点法”画出下列函数在区间0,2上的简图.(1)y=2sinx;(2)y=1-sinx;(3)y=cosx-1.思路分析:在区间0,2上按五个关键点列表、描点、连线,并用光滑的曲线将它们连接起来.解:(1)按五个关键点列表:x02sinx010-102sinx020-20描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-5).图1-4-5方法归纳 函数y=2sinx的图象是把y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到的.(2)按五个关键点列表:x02cos
7、x10-101cosx-10-1-2-10描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1-4-6).图1-4-6方法归纳 y=f(x)y=f(x)+a(a0),y=f(x)y=f(x)-a(a0),记忆的口诀是“上加下减”.知识点二 图象的应用例2 方程sinx=lgx的实根的个数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.无穷多个思路分析:如图1-4-7,在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.图1-4-7由图中看出两函数图象有三个交点(xi,yi),其中xi(1,10)(i=1,2,3)是方程sinx=lgx的解,此方程再无别的解.答案:C方法归纳 像这种含有三角式、指数式、对数式
8、的方程叫做超越方程,用初等解方程的方法不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数,把求方程的解转化为求两个函数的交点问题.例3 写出使sinx(xR)成立的x的取值集合.思路分析:可借助于单位圆或正弦曲线求解.图1-4-8解:如图1-4-8,在0x2中满足sinx的角x的集合为x|x;当xR时集合为x|2k+x2k+,kZ.巧解提示:由y=sinx在0,(,)两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数.又sinx,则有sinxsin或sinxsin,所有在0,2中,满足sinx的角的集合为x|xx|x=x|x.以下同解.方法归纳 利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时,可先在长度为0,2的区间
9、上找到适合不等式的解,再把它扩展到整个定义域上去.问题探究思想方法探究问题 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性,推广到一般的情况,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.那么是否所有周期函数都有最小正周期?对于周期函数的学习还应该注意什么问题?探究过程:首先,周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)或只差个别的x值不满足f(x+T)=f(x)都不能说T是f(x)的周期.例如sin(+)=sin,但是si
10、n(+)sin.就是说,不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx,因此不是sinx的周期. 其次,从等式f(x+T)=f(x)来看,应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期,如f(2x+T)=f(2x),T不是周期,而应写成f(2x+T)=f2(x+)=f(2x),则是f(x)的周期. 第三,对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数f(x)=x(C为常数),xR,当x为定义域内的任何值时,函数值都是C,即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x,都有f(x+T)=C,因此f(x)是周期函数,由于T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)没有最小正周期. 对于周期函数还应当注意,“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即它对定义域内的每一个值都成立,T是非零常数,周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值;周期函数的周期不止一个,若T是周期,则kT(kN*)一定也是周期;在周期函数y=f(x)中,T是周期,若x是定义域内的一个值,则x+kT也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限集.探究结论:周期函数并不都有最小正周期;周期函数的定义域一定无上界或无下界.5