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1、生活的色彩就是学习第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用教师用书 理 苏教版1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等.3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).【知识拓展】1.三角形的面积公式S (p)，Srp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p).2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从A处望B处的仰
2、角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()(4)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是0，).()1.(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_ m.答案50解析由正弦定理得，又B30，AB50(m).2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile/h
3、，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.答案70解析设两船之间的距离为d，则d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距70 n mile.3.(教材改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60视角，从B望C和A成75视角，则BC_ n mile.答案5解析如图，在ABC中，AB10，A60，B75，BC5.4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB_.答案a解析由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，ADa，又在RtADB中，A
4、BADa.5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案6020解析如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060. 题型一求距离、高度问题例1(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC_ m.(2)如图，A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在
5、A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD_ m.答案(1)120(1)(2)800(1)解析(1)如图，在ACD中，CAD903060，AD60 m，所以CDADtan 6060(m).在ABD中，BAD907515，所以BDADtan 1560(2)(m).所以BCCDBD6060(2)120(1) (m).(2)在ABD中，BDA1804512015.由，得AD800(1)(m).CD平面ABD，CAD45，CDAD800(1) m.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向
6、角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(1)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案(1)30(2)3030解析(1)如图，由题意，BAC30，ACB105
7、，B45，AC60 km，由正弦定理，BC30 km.(2)在PAB中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，树的高度为PBsin 4530()(3030)(m).题型二求角度问题例2甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin 的值.(结果保留根号，无需求近似值)解设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在ABC中，AC2
8、8t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理，得(28t)281(20t)22920t()，128t260t270，解得t或t(舍去)，所以AC21(海里)，BC15(海里)，根据正弦定理，得sinBAC，cosBAC .又ABC120，BAC为锐角，所以45BAC，sin sin(45BAC)sin 45cosBACcos 45sinBAC.思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”
9、使用.(1)(2016苏州模拟)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_.答案解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.题型三三角形与三角函数的综合问题例
10、3(2016扬州调研)在斜三角形ABC中，tan Atan Btan Atan B1.(1)求C的值；(2)若A15，AB，求ABC的周长.解(1)方法一因为tan Atan Btan Atan B1，即tan Atan B1tan Atan B，因为在斜三角形ABC中，1tan Atan B0，所以tan(AB)1，即tan(180C)1，即tan C1，因为0C180，所以C135.方法二由tan Atan Btan Atan B1，得1，化简得sin Acos Bsin Bcos Asin Asin Bcos Acos B，即sin(AB)cos(AB)，所以sin Ccos C，因为斜
11、三角形ABC，所以C135.(2)在ABC中，A15，C135，则B180AC30.由正弦定理得2，故BC2sin 152sin(4530)2(sin 45cos 30cos 45sin 30)，CA2sin 301.所以ABC的周长为ABBCCA1.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.(2016南京学情调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos Bbcos A.(1)求的值；(2)若sin A，求sin(C)的值.解(1)方法一由acos Bbcos A，结合正弦
12、定理得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.因为A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB0，即AB，所以ab，即1.方法二由acos Bbcos A，结合余弦定理得ab，即2a22b2，即1.(2) 因为sin A，由(1)知AB，因此A为锐角，所以cos A.所以sin Csin(2A)sin 2A2sin Acos A，cos Ccos(2A)cos 2A12sin2A.所以sin(C)sin Ccos cos Csin .10.函数思想在解三角形中的应用典例(14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与
13、该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决.规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，1分则S .3分故当t时，Smin10，v30.6分即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.7分(2)设小艇与轮船在B处相遇. 则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.
