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1、1,第三章 控制系统的时域分析,2,3.1 典型输入信号和时域分析法,3,3.1.1 典型输入信号,时间响应表现系统动态性能。不仅取决于系统本身特性（微方），还与输入信号形式有关。 系统工作时，外加输入信号是随机的，无法确定它在某一瞬间的形式。 系统分析和设计时，对各种系统性能进行比较要预先规定一些具有特殊形式的实验信号作为输入，然后比较系统的响应。,4,典型信号的选取原则,输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入； 输入信号在形式上应尽可能简单，以便于对系统响应的分析； 应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型输入信号。 常用的典型实验信号 阶跃、斜坡、抛物线、脉冲 正弦（频率
2、分析法）,5,1. 阶跃函数,阶跃函数的拉普拉斯变换为,6,2. 斜坡函数,斜坡函数的拉普拉斯变换为,7,3. 抛物线函数,抛物线函数的拉普拉斯变换为,8,4. 脉冲函数,理想脉冲函数的拉普拉斯变换为,其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，则有,当A=1（ h 0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 。,9,5. 正弦函数,正弦函数的拉普拉斯变换为,10,3.1.2 动态过程与稳态过程,动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的控制系统，
3、其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是稳定的。动态过程的其他信息用动态性能描述。 2. 稳态过程：是系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最终复现输入量的程度，用稳态误差来描述。,11,3.1.3 时域性能指标,1. 动态性能指标,描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随t衰减的变化状态的指标，称为动态性能指标。,12,3.1典型输入信号和时域性能指标,h(t),t,0,性能指标有6个： 其中反映系统响应初始段快慢的有3项指标：上升时间、延迟时间、峰值时间； 反映系统过渡过程持续时间的指标：调节时间 反映系统整个响应过
4、程的振荡程度的指标：超调量 体现系统复现信号能力的指标：稳态误差ess,ess=1- h() 当h()1时，ess=0 ,3.1.3 时间响应及性能指标,13,（1）上升时间tr 响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，或：响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需时间（无超调系统）反映响应曲线上升趋势表示响应速度指标。 （2）峰值时间tp 响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。 （3）调整时间（调节时间）ts 在响应曲线从0到达且不再超过稳态值的5%或2%误差范围所需的最少时间。（允许误差=0.05或= 0.02）,14,（4）最大超调量% 指在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分比
5、,（5）振荡次数N：在调节时间ts内，c(t)偏离c()的振荡次数。,注： 以上各种性能指标中，上升时间、峰值时间和调节时间都表示动态过程进行的快慢程度，是快速性指标。超调量反映动态过程振荡激烈程度，是平稳性指标，也称相对稳定性能 。超调量和调节时间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标。,15,2. 稳态性能指标,稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，是当时间趋于无穷时，系统单位阶跃响应的稳态值与输入量之差，即,具有单调上升的阶跃响应,无超调量，只取调节时间ts作为动态性能指标,16,3.2 一阶系统的时域分析,17,传递函数,T=1/K，时间常数 “秒”， 表征系统惯性,结构图,3.2
6、.1 一阶系统的数学模型,18,1. 单位阶跃响应,19,特点： 按指数规律上升 t=0处切线斜率为1/T,参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验曲线确定T,20,调整时间ts,理论上：瞬态结束进入稳态 t 工程上：与系统要求精度有关 ts=4T (误差范围2%) ts=3T (误差范围5%） ts大小作为评价系统响应快慢的指标：调整系统参数 T提高系统快速性 注：ts只反映系统特性，与输入、输出无关。,21,2. 单位斜坡响应,22,3. 单位抛物线响应,当时间t时，系统输出信号与输入信号之差将趋于无穷大。说明对于一阶系统是不能跟踪单位抛物线函数输入信号的。,23,4. 单位脉冲响应,24,
7、一个一阶系统分析的例子,解:由图得系统的闭环传递函数为：,3.2 一阶系统的时域分析,一阶系统如图，系统加入单位阶跃输入。 当KH=1时，求调节时间ts； 若KH=0.1,则调节时间ts为多少； 若要求ts=0.1秒，问KH应为何值。,时间常数T=0.1/KH 总放大倍数为1/KH,1. 当KH=1时,2. 当KH=0.1时,3. 若要求调节时间ts=0.1秒,闭环传递函数,25,1. 一阶系统对典型输入信号的响应及响应之间关系,3.2.1 一阶系统的重要性质,26,一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。在一定的输入信号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。 从表可以看出：系统对
8、输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分。这一重要特性适用于任何阶次的线性定常系统线性定常系统的重要特性。 利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出几种相应信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。,2. 结论,27,3.3 二阶系统的时域分析,28,3.3二阶系统的时域分析,3.3.1 二阶系统的数学模型,凡以二阶系统微分方程描述的系统，称为二阶系统,称为阻尼比(相对阻尼系数)，n为无阻尼自振角频率(固有频率)，它们是二阶系统的特征参数。,微分方程： 传递函数： 用闭环结构图表示为：,
9、29,3.3.2 二阶系统的特征根及性质,特征根方程,特征根,特征根性质,零阻尼0，方程有一对纯虚根，输出等幅振荡。,过阻尼1，方程有两个不等的负实根， 输出无振荡,临界阻尼1，方程有一对相等的负实根，输出无振荡,欠阻尼01，方程有一对实部为负数的共轭复根，输出振荡,3.3二阶系统的时域分析,30,3.3.3 二阶系统的单位阶跃响应,3.3二阶系统的时域分析,二阶系统输出的一般式为,式中 s1、s2为系统特征根，而,二阶系统单位阶跃响应通用曲线,1时，阶跃响应表现为无振荡的单调上升曲线，以=1时的过渡过程时间最短。 =0时系统响应变成等幅振荡； 在欠阻尼情况中，减小，响应的初始阶段较快，但响应
10、振荡特性加剧，取0.40.8时，过渡过程时间短，振荡也不剧烈，=0.707时系统响应性能指标最优，称为最佳阻尼比。,31,1.当=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。,32,2.当01时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根,系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。,33,3. 当=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临界阻尼状态。,34,4.当1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。,35,临界阻尼(=1)时的单位阶跃响应 （ ） 响应的稳态分量为1 ，暂态分量随着时间的推移最终衰减到零，ess=0。,3.3二阶系
11、统的时域分析,36,欠阻尼(01)时的单位阶跃响应（ ） 稳态分量为1 ，暂态分量为振幅随时间按负指数规律衰减的周期函数，其振荡角频率为d，由于 ，可见的值越大，振幅衰减越快，最终衰减到零，响应频率越快ess=0 。,(arccos),3.3二阶系统的时域分析,37,（1）上升时间tr 当t=tr时，c(tr)=1,上升时间tr是c(t)第一次达到稳态时间,3.3.2 典型二阶系统动态性能指标,1. 欠阻尼二阶系统的动态性能指标,38,（2）峰值时间tP tP处有极值，故该处导数值为0,39,（3）超调量%,上式表明，超调量仅是阻尼比的函数，与自然频率n无关。,40,（4）调整时间ts,在设计
12、系统时, 通常由要求的最大超调量决定，而调节时间则由无阻尼振荡频率n来决定。,41,（5）振荡次数N,其中,42,上面求得的tr 、tp 、ts、% 和N与二阶系统特征参数之间的关系是分析二阶系统动态性能的基础。若已知 和n的值或复平面上特征方程根的位置，则可以计算出各个性能指标。另一方面，也可以根据对系统的动态性能要求，由性能指标确定二阶系统的特征参数和n。,从平稳性看，越大越好， ， %,通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.40.8之间，相应的超调量25%2.5%。 最佳阻尼比0.707。,43,3.3二阶系统的时域分析,一个二阶系统分析的例子,典型二阶系统欠阻尼时的动态性能指
13、标,上升时间tr,峰值时间tp,超调量%,调节时间ts,44,一个二阶系统分析的例子,已知某单位负反馈系统的开环传函为： 设系统的输入量为单位阶跃函数，试计算放大器的增益KA=200时，系统输出响应的动态性能指标。若KA增大到1500或减小到13.5时，求系统的动态性能指标。,解：系统的闭环传递函数为,1. KA=200时，代入上式求得：n31.5rad/s；0.545，代入二阶欠阻尼系统动态性能指标的计算公式，可得：,2. KA=1500时，求得： n86.2rad/s ；0.2，同理可求得动态指标：,3. KA=13.5时，得： n=8.22rad/s；3.11，此时系统为过阻尼情况，峰值
14、时间和超调量不存在，而调节时间为：,KA=200时,KA=1500时,KA=13.5时,3.3二阶系统的时域分析,45,例3.2 一位置随动系统，K4。求该系统的阻尼比、自然振荡角频率和单位阶跃响应；系统的峰值时间、调节时间和超调量；若要求阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大系数K值。,解 系统的闭环传递函数为,和标准式比较得：,46,47,从上可以看出，降低开环放大系数K值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大。,要求=0.707时:,48,2. 过阻尼二阶系统的动态性能指标,阶跃响应是从0到1的单调上升过
15、程，超调量为0。用ts即可描述系统的动态性能。,49,总结：,各性能指标之间是有矛盾的。,50,在改善二阶系统性能的方法中，比例-微分控制和速度反馈是常用的两种方法。 比例-微分控制,具有反馈的随动控制系统,3.3.4 二阶系统性能的改善,51,参照式（3.21）有,52,由上式可见，引入比例-微分控制后，系统的无阻尼振荡角频率n不变，但系统的等效阻尼比加大了（d ）。 同时，引入比例-微分控制后，系统闭环传递函数出现附加零点（ -1/Td ）。闭环零点存在，将会使系统响应速度加快，削弱“阻尼”的作用。因此适当选择微分时间常数Td ，可使系统的调节时间缩短，超调量减小，抑制了振荡，改善了系统的
16、动态性能。,53,2.输出量的速度反馈控制 在原典型二阶系统的反馈通路中增加输出信号的速度分量反馈信号，结构图如下图所示。e(t)为误差信号，Kf为输出量的速度反馈系数。,54,系统的开环传递函数成为,闭环传递函数为,55,由上式可见，引入速度反馈控制后，增加了附加项，同样使系统的无阻尼振荡角频率n不变、等效阻尼比增大（d ），因而使系统的调节时间缩短，超调量减小，系统的平稳性得到改善。但系统没有附加闭环零点的影响。,56,3.3.4 二阶系统性能的改善,系统超调大的原因是在系统响应接近稳态值时，积累的速度过快而使超调过大，为了减小超调，抑制振荡可以引入一个与速度有关的负反馈，适当地压低速度，从而提高平稳性。两
