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1、山东省聊城市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理科）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.故选A.2. 设复数，则（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】,故选C.3. 设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】,故公差.故选B.4. 我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】D【解析】不妨设两条直角边为,故斜边,即大正方形的边长为,小正方形边长为,故概率为.5. 设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得,故是递增数列,反之也成立,所以为充要条件.选C.6. 已知直线与抛物线：相交于，两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设,代入抛物线得,两式相减得,即,即直线的斜率为,由点斜式得,化简得,故选D.7. 已知函数，不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【
3、答案】A【解析】由于,所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故,所以,故选A. 8. 已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为,所以.双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个,即双曲线右顶点到右焦点的距离为,故,由于,解得,右顶点到左焦点的距离为,故选D.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入的值应为（ ）A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 9【答案】B【解析】,判断是,判断是,判断是, ,判断否,输出,故选B.
4、10. 在中，边上的中线的长为2，点是所在平面上的任意一点，则的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. -2 D. -1【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则设点P的坐标为，则，故，当且仅当时等号成立所以的最小值为选C11. 如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设底边长和高为,则三棱锥的体积为.底面外接圆半径,故几何体外接球的半径为,体积为.故比值为.故选C.12. 已知函数恰有3个零点，则实数
5、的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,在上单调递减.若,则在上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故.故需当时,且,使得第一段有一个零点,故.对于第二段,故需在区间有两个零点,故在上递增,在上递减,所以,解得.综上所述,【点睛】本小题主要考查函数的图象与性质,考查含有参数的分段函数零点问题的求解策略,考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,最值等基本问题.其中用到了多种方法,首先对于第一段函数的分析利用了分离常数法,且直接看出函数的单调性.第二段函数利用的是导数来研究图像与性质.13. 设，满足约束条件，则的最大值为_【答案】4【解析】,画出可行域如下图所示,由图
6、可知,目标函数在点处取得最大值为.点睛本小题主要考查线性规划的基本问题,考查了指数的运算. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；确定要画不等式所表示的平面区域.14. 某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：质量指标分组频率0.10.60.3据此可估计这批产品的此项质量指标的方差为_【答案】144【解析】由题意得这批产品的此项质量指标的平均数为，故方差为答案：点睛：在频率分布直方图中平均数的估计值等于每个小矩
7、形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和，在频率分布表中平均数的估计值等于每个分组的中点值乘以该组频率之和利用类似的方法也可根据频率分布直方图或频率分布表求得方差15. 的展开式中常数项为_【答案】672【解析】表示9个相乘，从这9个中选取6个且只取其中的，从剩余的3个中只取，相乘后即可得到常数项，故常数项为答案： 16. 若函数 在开区间内，既有最大值又有最小值，则正实数的取值范围为_【答案】【解析】,其中, ,故,解得,故,解得.17. 已知数列满足，.（）证明：是等比数列；（）求数列的前项和.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（）递推公式是型时，通常等式两边同时加，构成新的等比数列，（）求
8、和时采用分组求和的方法，其中是差比数列，采用错位想减法。解：（），数列是首项为2，公比为2的等比数列；（）由（）可求得：，18. 某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100次的乘车人数，统计结果如下：乘车人数1516171819202122232425频数2441016201612862以这100次记录的各乘车人数的频率作为各乘车人数的概率.（）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人
9、数超过18的概率；（）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的型车和22座的型车两种，型车一次租金为80元，型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？【答案】（）0.96.（）租型车较合算.【解析】试题分析：（）由统计数据可得在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8，然后根据对立事件和独立事件的概率求解即可得到结论（）设表示租用型车的总费用，则的所有可能取值为80,100,1
10、20,140,160,180，结合题意求得相应的概率后可得的分布列，然后求得；同样设表示租用型车的总费用，则可得，故租型车较合算试题解析：（）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8.记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件，则 .即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.（）设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为801001201401601800.560.160.120.080.060.02 .设表示租用型车的总费用（单位：元），则的分布列为901101301500.840.080.060.02 .因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据
11、，租型车较合算.19. 如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，.（）证明：；（）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.【答案】证明见解析；（）.【解析】试题分析：（）取的中点为，连接，结合条件可证得平面，于是，又，故可得（）由题意可证得，两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题试题解析：证明：（）取的中点为，连接，为等边三角形，.在底面中，可得四边形为矩形，平面，平面，.又，.（）平面面， 平面，由此可得，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系直线与平面所成角为，即，由，知，得.则，设平面的一个法向量为.由，得令，则设平面的一个法向量为，由，得令，则， ，由图形
12、知二面角为钝角，二面角的余弦值为.点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论20. 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.（）求椭圆的方程；（）证明：直线过定点.【答案】（）.（）直线过定点.【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知 ,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写
13、出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.【试题解析】（）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（）设直线的方程为.由，消去得.设，则，.直线的斜率 ；直线的斜率 . .由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.点睛本小题主要考查椭圆方程的求解,考查圆与椭圆的位置关系,考查直线与圆锥曲线位置关系. 涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断.（2）弦长、弦中点问题.（3）轨迹问题.（4）定值、最值及参数范围问题.（5）存在性问题.常用思想方法和技巧有：（1）设而不求.（2）坐标法.（3）根与系数关系.21.
14、已知函数.（）讨论函数在内的单调性；（）若存在正数，对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.【答案】（）当时，在内单调递增，当时，在内单调递减，在内单调递增.（）.【解析】试题分析：（）求导数可得，根据的取值情况进行讨论可得函数的单调性（）在（）中结论的基础上分和两种情况讨论求解，首先探求得到区间，通过对函数在此区间上单调性的讨论进一步得到的符号，进而将不等式去掉绝对值后进行讨论分析、排除，然后得到所求的范围即可试题解析（）由题意得，因为，所以当时，此时在内单调递增当时，由得，此时 单调递减；由得，此时 单调递增综上，当时，在内单调递增；当时，在内单调递减，在内单调递增.（）当时，由（）可得在内单调递增，且，
