极限思想的产生与发展 毕业论文

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1、 河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书 论文（设计）题目： 极限思想的产生与发展 学 院： 数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级： 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 1、论文（设计）研究目标及主要任务 1 进行文献检索与收集，填写任务书、撰写文献综述、开题报告，参加开题答辩并获 得通过。 2 按照指导教师要求，撰写论文写作提纲、初稿、修改稿及定稿，达到本科生毕业论 文撰写规范的写作要求； 3 参加毕业论文答辩并获得通过。 2、论文（设计）的主要内容 论文第一部分从历史的角度出发，讲述了极限思想的产生，发展，完善过程，在第一部 分结束时给出极限的定义。第二部分，开始讲述极限思想

2、的应用，主要从极限思想在概 念里的渗透，极限在导数中的应用和极限在积分中的应用三个方面来阐述极限思想的应 用。最后一个部分对全文做了简要的总结。 3、论文（设计）的基础条件及研究路线 基础条件：图书馆借阅及网上查阅相关资料。 研究路线：首先，以历史为出发点，研究了极限思想在历史发展过程中是如何产生，发 展，并且逐渐完善的。从而得到极限的定义，并从定义出发，具体讨论了如何由极限的 思想方法得到连续函数，导数及定积分的概念，由浅入深，进一步讨论如何由已知的运 动规律求速度和如何由已知曲线求它的切线，进而得到极限思想在导数中的应用，不定 积分是求导数的逆运算，而定积分则是特殊形式，从而引出极限思想在

3、积分中的应用。 4、主要参考文献 1梁宗巨.世界数学通史M.沈阳:辽宁教育出版社，1996. 2华东师范大学数学系:数学分析同步辅导及习题全解M.中国矿业大学出版社.2009. 3华东师范大学数学系:数学分析M.高等教育出版社.2007. 4 Finney Weir Giordano.ThomasCALCULUS.高等教育出版社M.2004. 5、计划进度 阶段起止日期 1 指导教师和学生进行双选，确定对应的名单2012.01.032012.01.05 2 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论 文开 题 2013.03.072013.03.10 3 进行毕业论文的初稿写作2013.0

4、3.112013.03.26 4 进行毕业论文的二稿写作2013.04.012013.04.17 5 进一步修改论文，并最终定稿2013.04.182013.04.26 6 论文答辩、填报毕业论文的有关资料2013.04.272013.05.15 指 导 教师: 年 月 日 教研室主任: 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书 数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 届 学生 姓名 论文（设 计）题目 极限思想的产生与发展 指导 教师 专业 职称 教授 研究 方向 课题论证：(见附页) 方案设计：首先，以历史为出发点，研究极限思想在历史发展过程中是如何产生，发 展，并且逐

5、渐完善的。进而得到极限的定义，并从定义出发，具体讨论了如何由极限 的思想方法得到连续函数，导数及定积分的概念，由浅入深，进一步讨论如何由已知 的运动规律求速度和如何由已知曲线求它的切线，从而得到极限在导数中的应用，不 定积分是求导数的逆运算，而定积分则是积分的特殊形式，进而引出极限在积分中的 应用。 进度计划： 2012.01.032012.01.05 指导教师和学生进行双选，确定对应的名单 2013.03.072013.03.10 毕业论文选题、文献调研、填写毕业论文任务书、论 文开题 2013.03.112013.03.26 进行毕业论文的初稿写作 2013.04.012013.04.17

6、 进行毕业论文的二稿写作 2013.04.182013.04.26 进一步修改论文，并最终定稿 2013.04.272013.05.15 论文答辩、填报毕业论文的有关资料 指导教师意见： 指导教师签名： 年 月 日 教研室意见： 教研室主任签名： 年 月 日 河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书（附页） 课题论证： 高等数学的基础是微积分，在学习微积分时接触的第一个重要定义就是极限，极 限思想是微积分的基本思想，在数学分析中，连续函数，导数，定积分等重要定义都是 用极限来定义的，极限运算是微积分的运算基础。因此要学好数学分析，学好微积分， 掌握并且能合理的应用极限是十分重要的。 在历史

7、发展的长河里，极限思想的产生和其他学科的产生是一样的，在极限产生， 发展，完善的过程中，并不是一帆风顺的，是经过无数数学家长时间共同努力的结果。 极限思想的发展过程，充分的体现了人类认识自然，改造自然的过程，从有穷到无穷的 过程是极限发展的基本过程，在其产生，发展，完善的过程中体现了一门科学在历史进 程中的发展历程，具有一般性。研究极限思想产生的历史过程，可以使我们更好的理解 极限，用极限的思想方法解决现实生活中所遇到的各种问题。 在极限的 N定义提出后，极限的发展已经趋于完善，不再局限于特定的问题中， 在定义的描述的上抛弃了直观性的几何描述法，使完善后的定义更具有严谨性，逻辑性， 这对于数学

8、的学习和创新具有指导性的作用。 本文第二部分通过极限在数学、物理等学科中的应用，说明极限的具体应用方向， 如计算曲线的切线，曲面的面积，变力做功，和求运动物体的速度等问题。通过这些应 用使我们对极限在现实生活中的具体作用有了更明确的理解，使我们对极限思想体系有 了更为立体的感受。 最后对全文进行了全面的总结。从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过 程生动地表明:任何科学的发展都不是一帆风顺的，要经过长时间不间断的探索，科学的 发展是随着社会生产的发展一同进步，但科学的发展同时也制约着生产的发展，当科学 的发展不再适应社会的进步，不能满足社会发展的需要，就必须进行创新，每一次创新 都将为科学

9、的发展以及社会的发展开创一个崭新的时代，科学的发展是建立在人认识改 造自然的基础上的，随着时间的发展，科学技术已经越来越在社会进步的过程中起中流 砥柱的作用，科学的发展一定要经过由定性认识转化为定量认识，形成概念和理论的系 统，否则，就不可能成为严谨的科学体系，也不能满足生产发展的需要与社会进步的脚 步。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述 极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。是人在探索改造自然过程中 逐渐形成的一新的思想方法。极限的思想可以追溯到古代，三国时期的刘徽在他的割圆 术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。 ”在庄子天下篇中

10、有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前 5 世纪，有关 无限小量的概念就已经作为希腊人关于物质世界本质的设想而进入了数学思潮，而希腊 数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有 更小的” 。对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而 是借助于穷竭法来完成有关的证明。到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文借助几何直观，放 弃了古希腊人的证明。从而他提出要把极限思想方法发展成为一门可以在社会各个领域 中应用的实用的思想方法。 极限思想的发展与微积分的建立紧密相连，16 世纪以后，欧洲正处于资本主义萌芽 时期，生产力得到极大发展，生产和技术

11、中大量问题无法用初等数学解决的前提下，例 如曲线的切线问题，最值问题，速度问题，变力做功问题等，要求数学家突破只研究常 量的传统范围，而提供能用以描述和研究运动、变化过程的新工具，数学家们开始进入 极限思想的领域深入研究。这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。17 世纪上半叶， 随着数学家们深入的研究，他们用不同的方式接近了微积分的大门，从这一时期开始， 极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概 念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触。 19 世纪，法国数学家柯西比较完整的阐述了极限的概念及其理论，在分析教程 中指出：“当一个变量逐

12、次所取得值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之 差要多小就多小，这个定值就叫所有其他值得极限。 ”尤其是，当一个变化的数值（绝对 值）无限的减小使之收敛到极限 0，就说这个变量是无穷小量。随着研究的深入，极限 已经被科学家们广泛的接受，维尔斯特拉斯建立的N语言，则用严谨的数学语言定 义了变量的变化趋势，这种由直观的描述性定义到严谨的数学语言定义的变化过程，遵 循了数学发展的一般规律。 极限思想已经渗透于现代生活中各个领域中，在社会发展，科技进步等各个方面发 挥越来越大的作用。在人们的日常生活中，极限思维已经成为人们解决实际问题必不可 少的基本上思想之一，极限思想揭示了变化与静止、无穷与

13、有穷的辩证关系，是数学领 域中唯物辩证法的体现。透过极限思想，人们可以从有穷认识无穷，从静止认识运动， 部分认识整体。无限与有限是对立统一的唯物辩证关系，既相互关联，又相互矛盾，既 是对立的，又是统一的。无穷多个数的和不能用有限多个数的和来定义，而应该把它定 义为有限和的极限，这就是通过极限的思想来认识有限与无限的。 河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章 Finney Weir Giordano.ThomasCALCULUS.高等教育出版社M.2004. 1.1.函数极限函数极限 设 f x定义在 0 x的一个可能不包括 0 x的开区间上，我们说当x趋于 0 x时 f x趋于 极限L，并

14、且记为 lim o xx f xL 如果，对于任何数0，存在相应的数0使得对所有满足 0 0xx的 x，有 f xL 2.2.切线切线 为了定义与一般曲线相切的概念，我们需要一种动态的处理方法，这种方法考虑了 过点P和附近点Q，当Q沿着曲线（图 2.65）向点P移动时过PQ的割线的形态。该方 法的大致步骤如下： （1）从我们能计算的东西开始，即割线PQ的斜率。 （2）研究当点Q沿着曲线趋于点P时割线的极限。 （3）如果这个极限存在，就把它取作曲线在点P的斜率，并把过点P具有这个斜率的 直线定义为曲线在点P的切线。 图图 2.65 动态的趋向切点，曲线在点P的切线是过P的直线其斜率是当曲线上的点

15、Q沿 着曲线从P点的两侧趋于点P时割线PQ的斜率的极限。 定义定义 斜率和切线斜率和切线 曲线 yf x在点 00 ,P xf x的斜率是数 00 0 lim h f xhf x m h （如果这个极限存在） 曲线在点P的切线是过点P且以m为斜率的直线。 3.黎曼和黎曼和 图图 5.8 一个典型的在闭区间,ba上的连续函数 有限逼近理论极限是由德国数学家 Bernhard Riemann 精确给出的，我们现在介绍一 个黎曼和，在下一节定积分研究的基础的理论概念。 我们从定义在闭区间 , a b上的任意连续函数 f x开始，与图 5.8 中的图像表示的函 数一样，它既可以取正值，也可以取负值。我们详细的划分这个闭区间的区间间隔，不 一定是相等的宽度（或长度），并且以同样的方式，在第 5.1 节中的有限近似的形式总 结，要做到这一点，我们选择了a和b之间1n个点 1231 ,， n x x xx并且 121 n axxxb 为了使符号一致，我们选择这样一个b 0121 nn axxxxxb 得到集合 0121 , nn Px x xxx 被称为 , a b的一个分区。 P把 , a b划分为n个封闭的子区间 01121 , ,， nn x xx xxx 典型的闭子区间 1