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1、2.3 抛物线复习指导考点一：抛物线的标准方程及几何性质1涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性2求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题3抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，则：(1) ；(2)若直线的倾斜角为，则；(3)若F为抛物线焦点，则有. “看到准线想焦点，看到焦点想准线”，是解
2、决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.4直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.解题指导：1在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况；2标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线 上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于
3、p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.抛物线中的四个圆 抛物线焦点弦相关的一个角平分性质 点与抛物线的位置关系 几何法求抛物线上的点到定直线的距离最值 例题1. 已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为( )A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C例题2. 已知抛物线,过其焦点且斜率为l的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A.x=1 B.x=1 C.x=2 D.x=2 【答案】B例题3. 已知抛物线C: 过点A(1,2)()求抛物线C的方程,并求其准线方
4、程;()是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由 【答案】() 抛物线C的方程为，其准线方程为()见解析例题4.已知m是非零实数,抛物线C: 的焦点F在直线l:上.()若m=2,求抛物线C的方程;()设直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,AA1F,BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外. 【答案】()()求证过程见解析巩固练习一、单选题1过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原
5、点的距离为 （ ）A. B. C. D. 2已知抛物线 上有一条长为的动弦，则弦的中点到轴的最短距离为 （ ）A. B. C. D. 3过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于 两点（在的上方），且与准线交于点，若，则 （ ）A. B. C. D. 4已知抛物线，直线过抛物线焦点，且与抛物线交于， 两点，以线段为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（ ）A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定5抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）A. B. C. 1 D. 6已知点， ， ， ， ， 是抛物线（）上的点， 是抛物线的焦点，若，且，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 7已知点
6、在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）A. B. C. D. 二、填空题8已知为抛物线上一个动点，定点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和的最小值是_9已知为坐标原点， 为抛物线的焦点，若抛物线与直线在第一、四象限分别交于两点，则的值为_10已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C:x+12+y-52=1上，则MA+MF的最小值是_.三、解答题11如图，抛物线C:y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2).（1）求抛物线C的方程及准线I的方程；（2）过焦点F的直线（不经过点Q）与抛物线交于A,B两点，与准线I交于点M，
7、记QA,QB,QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数，使得k1+k2=k3成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.12已知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py (p0)的焦点分别为F1,F2，C1,C2交于O,A两点（O为坐标原点），且F1F2 OA.（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为(-1,-1)，求PMN面积的最小值.13已知抛物线和直线， 为坐标原点 (1)求证： 与必有两交点； (2)设与交于两点，且直线和斜率之和为，求的值14已知抛物线.(1)设点的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应
8、的距离；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线的距离最短，并求出距离的最小值15在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.参考答案与解析1D【解析】设，过A,B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E。，。由抛物线的定义得，又，解得。2C3A【解析】 如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，设。得，所以，整理得。4C【解析】取AB的中点M,分别过A,B,M作准线的垂线AP,BQ,MN,垂足分别为P,Q,N,如图所示,由抛物
9、线的定义可知, ,在直角梯形APQB中, ,故圆心M到准线的距离等于半径,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,5B6B【解析】依题意，由抛物线定义可知， ，故，故抛物线的方程为.7D【解析】根据抛物线的定义P到焦点的距离等于P到准线的距离，所以点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和最小，只需点到点的距离与点P到准线的距离之和最小，过点作准线的垂线，交抛物线于点P，此时距离之和最小，点P的坐标为.8【解析】 由抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点的焦点的距离，设点到抛物线的准线的距离为，所以，可得当三点共线时，点到点的距离与点到准线的距离之和最小， 所以最小值为.9【解析】
10、直线过焦点，则，所以， 所以。105【解析】抛物线准线为l：y=-1 ，MA+MF =MA+dA-ldC-l-r=5+1-1=5 11(1) 抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1. (2) 存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立【解析】由y=kx-1y2=4x消去y整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,显然=4(k2+2)2-4k4=16(k2+1)0，设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1，又Q(1,2),则k1=2-y11-x1,k1=2-y21-x2。 因为A,F,B三点共线,所以kAF=kBF=k，即y1x1-1=y2x2-1
11、=k,所以k1+k2=2(k+1),即存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立. 12(1)x2=4y；(2)8.【解析】解得py1=2x1，将其代入式解得x1=4,y1=4，从而求得p=2，所以C2的方程为x2=4y.（2）联立y=kxy2=4x得M(4k2,4k)，联立y=kxx2=4y得N(4k,4k2)(k0)，从而|MN|=1+k2|4k2-4k|=1+k2(4k2-4k)，点P(-1,-1)到直线MN的距离d=|k-1|1+k2，进而SPMN=12|k-1|1+k21+k2(4k2-4k) =2(1-k)(1-k3)k2=2(1-k)2(1+k+k2)k2=2(k+1k-2)(k+1k+1)令t=k+1k(t-2)，有SPMN=2(t-2)(t+1)，当t=-2，即k=-1时，即当过原点直线为y=-x时，PMN面积取得最小值8.13（1）见解析；（2）【解析】 ，因为, ,代入得.14（1）距点最近的点的坐标为， ；（2）， 【解析】 (1)设抛物线上任一点 ，则,，且在此区间上函数单调递增，故当 时， ，故距点最近的点的坐标为.(2)设点是上任一点，则到直线 的距离为，当 时， , 点的坐标为.15（1）（2）【解析】（2）设，设直线代入到中得，所以，又中点，所以直线的垂直平分线的方程为，可得.12
