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1、课时跟踪检测（五十六） 题型上高考3大题型逐一精研 1.(2018郑州一检)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax2byab0相切(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若PQF2的周长为4，求的最大值解：(1)由题意知c，即3a2b2c2(a24b2)(a2b2)(a24b2)化简得a22b2，所以e.(2)因为PQF2的周长为4，所以4a4，得a，由(1)知b21，所以椭圆C的方程为y21，且焦点F1(1,0)，F2(1,0)，若直线l的斜率不存在，则直线lx轴，直线方程为x1，P，Q，故.若直线l的斜率存在
2、，设直线l的方程为yk(x1)，由消去y并整理得(2k21)x24k2x2k220，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)(x21，y2)(x11)(x21)y1y2(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21(k21)(k21)k21，由k20可得.综上所述，所以的最大值是.2(2019沈阳教学质量监测)设O为坐标原点，动点M在椭圆1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)过F(1,0)的直线l1与点P的轨迹交于A，B两点，过F(1,0)作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C，D两点，求证：为定值解：(1)设P(x
3、，y)，易知N(x,0)，(0，y)，又，M，又点M在椭圆上，1，即1.点P的轨迹E的方程为1.(2)证明：当直线l1与x轴重合时，|AB|6，|CD|，.当直线l1与x轴垂直时，|AB|，|CD|6，.当直线l1与x轴不垂直也不重合时，可设直线l1的方程为yk(x1)(k0)，则直线l2的方程为y(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立直线l1与曲线E的方程，得得(89k2)x218k2x9k2720，可得|AB|，同理可得x3x4，x1x2.则|CD| .综上可得为定值3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半
4、径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由解：(1)由e，得，即ca，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以椭圆C的标准方程为1.(2)由得(13k2)x212k2x12k260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2()为定值，则(x1m，y1)(x2m，y2)
5、(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，只需3m212m103(m26)，解得m，此时， 2m26，所以在x轴上存在定点E使得2为定值，且定值为.4(2019惠州调研)已知点C为圆(x1)2y8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足0，2.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2y21相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且时，求k的取值范围解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，所以a，c1，b1，故点Q的轨迹方程是y21.(2)设直线l：ykxt，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2y21相切1t2k21.联立(12k2)x24ktx2t220，16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0，x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范围是.
