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1、第五节指数与指数函数2019考纲考题考情1根式(1)根式的概念(2)两个重要公式()na(注意a必须使有意义)。2有理数的指数幂(1)幂的有关概念0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)。(ar)sars(a0，r，sQ)。(ab)rarbr(a0，b0，rQ)。3指数函数的图象与性质yaxa10a1图象定义域R值域(0，)1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，
2、底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0。由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大。3指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究。 一、走进教材1(必修1P59A组T4改编)化简(x0，y0)_。解析因为x0，y0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_。解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1。答案答案cb1，则f(x)maxf(1)a2；若0a0，且a1)的图象可能是()A B CD解析当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，此时四个选项均不对；当0a0，且a1)
3、的图象必过点(1,0)，故选D。答案D考点一 指数幂的运算【例1】(1)下列命题中，正确命题的个数为()a；aR，则(a2a1)01； xy；。A0 B1C2 D3答案(1)B(2)指数幂运算的一般原则1有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算。2先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数。3底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数。 答案(1)(2)考点二 指数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)axb的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)(2019厦门模拟)若曲线y|3x1|与直线ym有两
4、个不同交点，则实数m的取值范围是_。解析(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1。函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，。2与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。 考点三 指数函数的性质及应用微点小专题方向1：指数函数的单调性应用【例3】(1)(2019福建厦门一模)已知a0.3，blog0.3，cab，则a，b，c的大小
5、关系是()Aabc BcabCacb Dbc1且a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则M(a1)0.2与N0.1的大小关系是()AMN BMNCMN答案(1)B(2)D比较指数式的大小的方法1能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小。2不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小。 方向2：复合函数的单调性应用【例4】(1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_。解析(1)令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减。而y2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，
6、即m4，所以m的取值范围是(，4。答案(1)(，4(2)(，1求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。 方向3：指数函数性质的综合问题【例5】(1)函数f(x)a(a，bR)是奇函数，且图象经过点，则函数f(x)的值域为()A(1,1) B(2,2)C(3,3) D(4,4)(2)若不等式12x4xa0在x(，1时恒成立，则实数a的取值范围是_。解析(1)函数f(x)为奇函数，定义域是R，则f(0)a0，函数图象过点，则f(ln3)a。结合可得a1，b
7、2，则f(x)1。因为ex0，所以ex11，所以02，所以11。因为函数yx和yx在R上都是减函数，所以当x(，1时，x，x，所以xx，从而得。故实数a的取值范围为a。答案(1)A(2)指数函数性质的重点是其单调性，解题中注意利用单调性实现问题的转化。 【题点对应练】1(方向1)已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1a0时，11。因为x0时，bx0时，x1。所以1，所以ab。所以1b0，且a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|
8、。由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减。故选B。答案B4(方向3)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是_。解析原不等式变形为m2mx，又yx在(，1上是减函数，知x12。故原不等式恒成立等价于m2m2，解得1m0，a1)对应的图象如图所示，则g(x)()Ax BxC2x D2x解析由图象可知，当x0时，函数f(x)单调递减，则0a1，因为f(1)，所以a，即函数f(x)x；当x0，则f(x)xg(x)，即g(x)x2x，故g(x)2x，x0在区间(1，)内恒成立。所以所以8a6，即a的取值范围是8，6。答案8，63(配合例5使用)已知定义在R上的函数f(x)2x。(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对任意t1,2恒成立，求实数m的取值范围。解(1)由f(x)2x2(2x)232x20(2x2)(22x1)0。因为2x0，所以2x2，所以x1。(2)由2tf(2t)mf(t)02tm0m(2t2t)2t(22t22t)。又t1,22t2t0m2t(2t2t)，即m22t1，只需m(22t1)max。令y22t1，t1,2，可得ymax2215，故m5。
