《2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第十二节 定积分与微积分基本定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第二章 第十二节 定积分与微积分基本定理 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十二节定积分与微积分基本定理2019考纲考题考情考纲要求考题举例考向标签1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义2015天津高考T11(求面积)2015福建高考T8(定积分与概率的综合)2014陕西高考T16(定积分的计算)命题角度：1定积分的计算2利用定积分求平面图形的面积3定积分在物理中的应用核心素养：数学运算、直观想象1定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，当n时，上述和式无限
2、接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx。2定积分的相关概念在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。3定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)。(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx。(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)。4定积分的几何意义如图：设阴影部分面积为S。(1)Sf(x)dx。(2)Sf(x)dx。(3)Sf(x)dxf(x)dx。(4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx。5微
3、积分基本定理如果F(x)f(x)，且f(x)在a，b上可积，则f(x)dxF(b)F(a)。其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。可以把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)。1定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零。(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程。2函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx。(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx0。 一、
4、走进教材1(选修22P50A组T5改编)定积分|x|dx()A1 B2C3 D4解析|x|dx (x)dxxdx2xdxx21。故选A。答案A2(选修22P60B组T3改编)曲线yx22x与直线yx所围成的封闭图形的面积为()A. B.C. D.解析由可得或所以曲线yx22x与直线yx所围成的封闭图形的面积如图为 (x2xx2)dx。故选A。答案A二、走近高考(近几年高考未涉及过)3(2015湖南高考) (x1)dx_。解析(x1)dx(22)00。答案04(2015天津高考)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_。解析曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由解得x0
5、或x1，所以S (xx2)dx|。答案三、走出误区微提醒：定积分变量误解致误；不理解定积分的几何意义；曲边梯形面积表达出错。5. (2xt)dx_。解析 (2xt)dx(x2tx)|1t。答案1t6. dx_。解析根据几何意义可得。答案7曲线yx2(x1,1)与x轴所围成的封闭图形的面积为_。解析所求面积S (x2)dx2x2dx。答案考点一 定积分的计算【例1】(1)(sinxcosx)dx_。(2)若f(x)，则f(x)dx为_。(3)设f(x)(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为_。解析(1)(sinxcosx)dxsinxdxcosxdx2。(2)由y，得(x1)2y24(y0
6、)，表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴及其上方的部分，所以是圆面积的。所以22。(3)因为f(x)因为x2，(lnx)，所以f(x)dxx2dxdx1。答案(1)2(2)(3)应用微积分基本定理计算定积分的步骤1把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差。2把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分。3分别用求导公式找到一个相应的原函数。4利用微积分基本定理求出各个定积分的值。5计算原始定积分的值。 【变式训练】dxdx_。解析dxlnx101，因为表示的是圆x2y24在x轴及其上方的面积，故dx222，故答案为21。答案21考点二 利用定积分求
7、平面图形的面积【例2】(1)(2019山西八校联考)如图，矩形OABC中曲线的方程分别是ysinx，ycosx。A，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A BC4(1) D4(1)(2)(2019唐山市摸底考试)曲线y与其在点(0，1)处的切线及直线x1所围成的封闭图形的面积为()A1ln2 B22ln2C2ln21 Dln2解析(1)由题可知图中阴影部分的面积S2(sinxcosx)2(1)，易知矩形OABC的面积为，所以在矩形OABC内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为。故选B。(2)因为y，所以y，则曲线y在(0，1)处的切线的斜率k2，切线方程为y
8、2x1，则曲线y与其在点(0，1)处的切线及直线x1所围成的封闭图形的面积Sdxdxx22x2ln(x1)|2ln21。故选C。答案(1)B(2)C1利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤：画草图；解方程得积分上、下限；把面积表示为已知函数的定积分。2注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系。 【变式训练】(1)曲线y与直线yx1，x1所围成的封闭图形的面积为()A2ln2 B2ln2C2ln2 D2ln2(2)曲线yx2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为_。解析(1)解方程组得则曲线y与直线yx1，x1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积Sdx|(2ln2
9、22)2ln2。(2)设曲线yx2在点(2,1)处的切线为l，因为yx，所以直线l的斜率ky|x21，所以直线l的方程为y1x2，即yx1。当y0时，x10，即x1，所围成的封闭图形如图所示，所以所求面积Sx2dx11x3|。答案(1)B(2)考点三 定积分在物理中的应用【例3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln5 B825lnC425ln5 D450ln2(2)已知作用于某一质点的力F(x)(单位：N)，则力F(x)从x0处运动到x2处(单位：m)所
10、做的功为_。解析(1)73t0，t4或t0(舍去)。425ln5，故选C。(2)根据题意，力F所做的功为Wx2dxx3(J)。答案(1)C(2) J定积分在物理中的两个应用1求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt。2变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WF(x)dx。 【变式训练】(1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A3 B4C5 D6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_J(x的单位：m；力的单位：N)。解析(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，因为(t3t5t2)3t2110t，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25，整理得(t5)(t21)0，解得t5。故选C。(2)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为W(x21)dx342(J)。答案(1)C(2)342
