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1、第三节等 比 数 列2019考纲考题考情1等比数列的有关概念(1)定义：文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)。符号语言：q(nN*，q为非零常数)。(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab。2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1。(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)。(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq。特别地，若mn2p，则amana。(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm
2、，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)。(4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列。(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk。(6)若或则等比数列an递增。若或则等比数列an递减。1若数列an为等比数列，则数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列。2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10。3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误。 一、走进教材1(
3、必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_。解析设该数列的公比为q，由题意知，1923q3，q364，所以q4。所以插入的两个数分别为3412,12448。答案12,482(必修5P62B组T2改编)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则an的通项公式an_。解析因为，所以，因为S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，所以q5，q，则an1n1n1。答案n1二、走近高考3(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度
4、音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()AfBfC.fD.f解析从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为的等比数列，记为an，则第八个单音频率为a8f()81f，故选D。答案D4(2017全国卷)设等比数列an满足a1a21, a1a33，则a4_。解析根据等比数列的通项公式可得两式相除可得，由式解得所以a4a1q3(2)38。答案8三、走出误区微提醒：“G2ab”是“a，G
5、，b”成等比数列的必要不充分条件；忽视q1的特殊情况；对数的运算性质不熟练。5在等比数列an中，a34，a716，则a3与a7的等比中项为_。解析设a3与a7的等比中项为G，因为a34，a716，所以G241664，所以G8。答案86数列an的通项公式是anan(a0)，则其前n项和为Sn_。解析因为a0，anan，所以an是以a为首项，a为公比的等比数列。当a1时，Snn；当a1时Sn。答案7若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则lna1lna2lna20_。解析因为数列an为等比数列，且a10a11a9a122e5，所以a10a11a9a122a10a112e5，
6、所以a10a11e5，所以lna1lna2lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050。答案50考点一 等比数列的基本运算【例1】(1)(2018福建泉州一模)已知等比数列an是递增数列，a1a765，a2a664，则公比q()A4B4C2D2(2)(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3。求an的通项公式；记Sn为an的前n项和。若Sm63，求m。(1)解析由得又等比数列an是递增数列，所以所以q2。故选D。答案D(2)解设an的公比为q，由题设得anqn1。由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2。故an(2)n1或an2n1。
7、若an(2)n1，则Sn。由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解。若an2n1，则Sn2n1。由Sm63得2m64，解得m6。综上，m6。1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解。2等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn。 【变式训练】(1)(2019赣州摸底)Sn是等比数列an的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则an的公比q的值为()AB2CD2(2)(2019安徽质量检测)中国古代数学名著九章算术中有
8、这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是()Aa，b，c成公比为2的等比数列，且aBa，b，c成公比为2的等比数列，且cCa，b，c成公比为的等比数列，且aDa，b，c成公比为的等比数列，且c解析(1)由S4，S3，S5成等差数列，得2S3S
9、5S4，即2(a1a2a3)2(a1a2a3a4)a5，整理得a52a4，所以2，即q2。故选D。(2)由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，ba，cb，三者之和为50升，故4c2cc50，解得c。故选D。答案(1)D(2)D考点二 等比数列的判定与证明【例2】设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)。(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列。解(1)因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，所以a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，所以a38
10、。综上，a24，a38。(2)证明：因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)。，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12。所以Sn2Sn120，即Sn2Sn12，所以Sn22(Sn12)。因为S1240，所以Sn120，所以2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列。1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。2利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证。 【
11、变式训练】已知数列an的首项a10，an1(nN*)，且a1。(1)求证：是等比数列，并求出an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn。解(1)记bn1，则，又b111，所以是首项为，公比为的等比数列。所以1n1，即an。所以数列an的通项公式为an。(2)由(1)知，1n1，即n11。所以数列的前n项和Tnnn。考点三 等比数列的性质及应用微点小专题方向1：等比数列项的性质应用【例3】(1)(2019洛阳市第一次联考)在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的两根，则的值为()ABC.D或(2)等比数列an的各项均为正数，且a1a54，则log2a1log2a2log2a3log2a
12、4log2a5_。解析(1)设等比数列an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，则a9，所以a9。故选B。(2)由题意知a1a5a4，因为数列an的各项均为正数，所以a32。所以a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a3(a)2a3a25。所以log2a1log2a2log2a3log2a4log2a5log2(a1a2a3a4a5)log2255。答案(1)B(2)51在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度。2在应用相应性质
13、解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形。此外，解题时注意设而不求思想的运用。 方向2：等比数列前n项和的性质【例4】(1)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_。(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_。解析(1)由题意，得解得所以q2。(2)因为S6S312，所以an的公比q1。由，得q3，所以。解析：因为an是等比数列，且，所以公比q1，所以S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得。答案(1)2(2)1项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q。(1)若共有2n项，则S偶S奇q；(2)若共有2n1项，则S奇S偶(q1且q1)，q。2等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k
