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1、第4讲直线、平面垂直的判定与性质考纲展示命题探究1直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图1所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.2直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言：如图2所示符号语言：a，bab.3直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0角因此，直线与平面所成的角的范围是0，904二面角(1)二面角：从一条直线出发
2、的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：如下图，在二面角l的棱l上任取一点P，以点P为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱l的射线PA和PB，则射线PA和PB构成的APB叫做二面角l的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度我们约定，二面角的取值范围是0，180平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)找二面角的平面角的方法垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角5平面与平面垂直的
3、判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言：如下图所示符号语言：AB，AB.6平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言：如下图所示符号语言：，CD，AB，ABCDAB.注意点斜线在平面上的射影的理解斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段.1思维辨析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则a
4、b.()(4)若，aa.()(5)a，a.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCAD DAA答案B解析连接BD，BDAC，BDCC， 且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.3m，n是空间中两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，所有真命题的编号是_答案解析中，由n，得n或n，又m，mn，故正确；中，也可能n，故错误；中，直线n也可能与平面斜交或平行，也可能在平面内，故错；中，由mn，m，可得n，又可得n，故正
5、确考法综述本考点在高考中多次出现，考题模式主要有三类：直线与平面垂直的判定与证明；利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直；利用定义求直线与平面所成的角和二面角命题法1证明线、面垂直问题典例1(1)设l是直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l(2)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：PA底面ABCD；BE平面PAD；平面BEF平面PCD.解析(1)对于A，若l，l，则，可能相交；对于B，若l，则平面内必存在一直线m与l平行，则m，又m
6、，故.选项C，l可能平行于或l在平面内；选项D，l还可能平行于或在平面内(2)证明：因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.又因为CD面PCD.所以平面BEF平面P
7、CD.答案(1)B(2)见解析【解题法】线面垂直、面面垂直的证法及三种垂直关系的转化(1)线面垂直的证法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”利用面面垂直的性质定理(2)面面垂直的证法用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题(3)垂直问题的转化关系命题法2求线面角、二面角典例2已知ABC和DBC所在的平面互相垂直，且ABBCBD，CBADBC120，求：(1)直线
8、AD与平面BCD所成角的大小；(2)二面角ABDC的余弦值解(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，交CB的延长线于H，连接DH，则AH平面DBC，所以ADH即直线AD与平面BCD所成的角，由题设知AHBDHB，所以AHDH，ADH45，所以直线AD与平面BCD所成的角为45.(2)过H作HRBD，垂足为R，连接AR，因为AH平面BCD，所以AHBD，AHHRH，所以BD平面AHR，所以BDAR.故ARH为二面角ABDC的平面角的补角，设BCa，则由题设知，AHa，BH.在RtHDB中，HRa，在RtAHR中，ARa，从而cosARH，故二面角ABDC的余弦值为.【解题法】线面角、二面角的
9、求法(1)用几何法求空间角的三个步骤找：即找出相关的角证：即证明找出的角即为所求的角计算：即通过解三角形的方法求出所求角(2)空间角的找法线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：a.定义法；b.垂面法其中定义法是最常用的方法1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析由l1l2，l2l3可知l1与l3的位置不确定，若l1l3，则结合l3l4，得l1l4，所以排除选项B、
10、C，若l1l3，则结合l3l4，知l1与l4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.2如下图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如下图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB得DFAC，故ACDF
11、.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，(1，1,0)，(1，1,3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1,0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.3如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点(1)求证：AO
12、BE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值解(1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以OAOG.如右图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a,0,0)，A(0,0，a)，B(2，(2a)，0)，(a,0，a)，(a2，(a2)，0)设平面AEB的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则x，y1.于是n(，1,1)平面AEF的法向量为p(0,1
13、,0)所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC，所以BEOC，即0.因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a2，解得a.4如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解(1)证明：在图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图2中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又CD
