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1、第十一节导数的应用2019考纲考题考情1函数的导数与单调性的关系函数yf (x)在某个区间内可导，则(1)若f (x)0，则f (x)在这个区间内单调递增。(2)若f (x)0，则f (x)在这个区间内单调递减。(3)若f (x)0，则f (x)在这个区间内是常数函数。2函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数yf (x)在点xa处的函数值f (a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f (a)0，而且在点xa附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，则xa叫做函数的极小值点，f (a)叫做函数的极小值。(2)函数的极大值若函数yf (x)在点xb处的函数值f (b)比它在点xb附近其他点的
2、函数值都大，且f (b)0，而且在点xb附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，则xb叫做函数的极大值点，f (b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。3函数的最值与导数(1)函数f (x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)求函数yf (x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为：求函数yf (x)在(a，b)内的极值；将函数yf (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。1函数f (x)在区间(a，b)上递增，则f (x)0，“f (
3、x)0在(a，b)上成立”是“f (x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。2对于可导函数f (x)，“f (x0)0”是“函数f (x)在xx0处有极值”的必要不充分条件。如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是函数yx3的极值点。 一、走进教材1(选修11P93练习T1(2)改编)函数yxex的单调递减区间为()A(，0) B(0，)C1，) D(1，)解析y1ex0。故选B。答案B2(选修11P99A组T5(4)改编)函数f (x)2xxlnx的极值是()A B CeDe2解析f (x)定义域为(0，)，因为f (x)2(lnx1)1lnx，当f (x)0时，解得0xe；当f (x
4、)e，所以xe时，f (x)取到极大值，f (x)极大值f (e)e。故选C。答案C二、走近高考3(2016四川高考)已知a为函数f (x)x312x的极小值点，则a()A4B2 C4D2解析由已知得，f (x)3x2123(x24)3(x2)(x2)。于是当x2时，f (x)0；当2x2时，f (x)0在(0，)上恒成立，则f (x)在(0，)上单调递增，又f (0)1，所以此时f (x)在(0，)内无零点，不满足题意。当a0时，由f (x)0得x，由f (x)0得0x0，f (x)单调递增，当x(0,1)时，f (x)0恒成立，所以f (x)是增函数。故选C。答案C6函数g(x)x2的极值
5、点是_，函数f (x)(x1)3的极值点_(填“存在”或“不存在”)。解析结合函数图象可知g(x)x2的极值点是x0。因为f (x)3(x1)20，所以f (x)0无变号零点，故函数f (x)(x1)3不存在极值点。答案0不存在7函数g(x)x2在1,2上的最小值和最大值分别是_，在(1,2)上的最小值和最大值均_(填“存在”或“不存在”)。解析根据函数的单调性及最值的定义可得。答案1,4不存在第1课时导数与函数的单调性考点一 讨论函数的单调性【例1】(1)已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区间是()A1，) B(，1C1，) D(，1(2)(2019惠州调研)已知函数f (x)
6、x2(a2)xalnx，其中aR。若曲线yf (x)在点(2，f (2)处的切线与直线xy30平行，求a的值；求函数f (x)的单调区间。(1)解析令y(1x)ex0。因为ex0，所以1x0，所以x1。故选A。答案A(2)解由f (x)x2(a2)xalnx可知，函数f (x)的定义域为x|x0，且f (x)2x(a2)，依题意，f (2)4(a2)1，解得a2。依题意，f (x)2x(a2)(x0)。令f (x)0，得x11，x2。()当a0时，0，由f (x)0，得x1；由f (x)0，得0x1。则函数f (x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)。()当01，即0a0，得0
7、x1；由f (x)0，得x1，即a2时，由f (x)0，得0x；由f (x)0，得1x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间。4解不等式f (x)0，函数g(x)单调递增；若a0，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x时，g(x)0时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为。考点二 已知函数的单调性求参数取值范围【例2】设函数f (x)x3x2bxc，曲线yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程为y1。(1)求b，c的值；(2)若a0，求函数f (x)的单调区间；(3)设函数g(x)f (x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围。解(1)f (x
8、)x2axb。由题意得即故b0，c1。(2)由(1)得f (x)x2axx(xa)，a0。当x(，0)时，f (x)0；当x(0，a)时，f (x)0。所以函数f (x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)。(3)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax2x成立，即amin。因为x(2，1)，所以x(1,2)，则x22，当且仅当x，即x时等号成立，所以a2，则a2x。若f (a2)f (a)44a，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C(，2 D2，)解析令G(x)f (x)x2，则G(x)f (x)2x。x0，)时，G(x)f (x)2x0，所以G(x)在0，)上是增函数。G(x)f (x)(x)2f (x)x2G(x)，所以G(x)为偶函数，G(x)在(，0)上是减函数。因为f (a2)f (a)44a，所以f (a2)44aa2f (a)a2，所以f (a2)(a2)2f (a)a2，即G(a2)G(a)，所以|a2|a|，所以a1。故选A。答案A本小题构造了新函数G(x)f (x)x2，通过讨论其单调性解不等式。 方向2：比较大小【例4】(2019南昌摸底调研)已知函数f (x)是定义在R
