《2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.2.4 双曲线的参数方程、抛物线的参数方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.2.4 双曲线的参数方程、抛物线的参数方程 （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24双曲线的参数方程、抛物线的参数方程1双曲线的参数方程当以F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，双曲线的普通方程为1(a0，b0)此时参数方程为(为参数)其中0，2)且，(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线1的参数方程是(为参数)2抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程为(tR)(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线1的参数方程为(为参数)()(2)双曲线1的参数方程为(为参数)()(3)y216x的参数方程为(t为参数)()答案(1)(2)(3)2做一做(1
2、)双曲线(为参数)的两焦点坐标是_答案(0，4)(2)如果双曲线(为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是_答案10或6(3)过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26则|AB|_答案8(4)方程(t为参数)表示的曲线的焦距为_答案4探究双曲线的参数方程的应用例1在双曲线x2y21上求一点P，使P到直线yx的距离为解本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解设P的坐标为(sec，tan)，由P到直线xy0的距离为得，得2，|1sin|2|cos|，平方得12sin
3、sin24(1sin2)，即5sin22sin30解得sin1或sinsin1时，cos0(舍去)sin时，cosP的坐标为或本例的求解充分利用了双曲线的参数方程一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果【跟踪训练1】求证：双曲线1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值证明由双曲线1，得两条渐近线的方程是bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为(asec，btan)，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1d2(定值)探究抛物线参数方程的应用例2连接原点O和抛物线
4、2yx2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线解设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为由中点坐标公式得变形为y0x，即x24y表示的为抛物线用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数化为普通方程，如果动点轨迹与圆锥曲线有关，通常以圆锥曲线参数方程中的参数作为中间变量【跟踪训练2】已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|MF|，
5、点M的横坐标是3，则p_答案2解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以E，F，0，所以3，所以p24p120，解得p2(负值舍去)探究圆锥曲线的参数方程的综合应用例3如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线(为参数)的右顶点和右焦点，求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离解双曲线的普通方程为1，右焦点(5，0)，右顶点(4，0)设椭圆方程为1(ab0)，a5，c4，b3椭圆方程为1设椭圆上一点P(5cos，3sin)，双曲线一渐近线为3x4y0，点P到渐近线的距离ddmax在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关
6、于参数的函数)，然后消去参数得普通方程这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标【跟踪训练3】已知抛物线C：(t为参数)，设O为坐标原点，点M在抛物线C上，且点M的纵坐标为2，求点M到抛物线焦点的距离解由得y22x，即抛物线的标准方程为y22x又M点的纵坐标为2，M点的横坐标也为2即M(2，2)又抛物线的准线方程为x由抛物线的定义知|MF|22即点M到抛物线焦点的距离为1双曲线的参数方程中，参数的三角函数cot，sec，csc的意义分别为cot，sec，csc2抛物线的参数方程(t为参数)，由于，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率
7、的倒数3利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等 1曲线(t为参数)的焦点坐标是()A(1，0) B(0，1)C(1，0) D(0，1)答案B解析将参数方程化为普通方程(y1)24(x1)，该曲线为抛物线y24x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1)2方程(t为参数)的图形是()A双曲线左支 B双曲线右支C双曲线上支 D双曲线下支答案B解析x2y2e2t2e2t(e2t2e2t)4xetet22表示双曲线的右支3抛物线(m为参数)的准线方程是()Ay1 By1Cy2 Dy2答案B解析由抛物线的参数方程，消去参数
8、m，得抛物线的普通方程为x24y，则p2，1，故该抛物线的准线方程为y14将方程化为普通方程是_答案yx2解析由ytan2t，将tantx代入上式，得yx2，即为所求方程A级：基础巩固练 一、选择题1已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是()A线段 B圆C双曲线 D圆的一部分答案C解析将所给参数方程的两式平方后相减，得x2y21并且由|x|1，得x1或x1，从而易知结果2参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A抛物线 B一条直线C两条射线 D两条曲线答案D解析由于2t22，故把参数方程(t为参数)消去参数，化为普通方程为x2y2(x2或x2)表示两条曲线，故答案为D3若点P(3，
9、m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于()A2 B3 C4 D5答案C解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为44过点M(2，4)且与抛物线(为参数)只有一个公共点的直线有()A0条 B1条 C2条 D3条答案C解析由得y28x，点M(2，4)在抛物线上过点M(2，4)与抛物线只有一个公共点的直线有2条5P为双曲线(为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则F1PF2重心的轨迹方程是()A9x216y216(y0)B9x216y216(y0)C9x216y21(y0)D9x216y21(y0)答案A解析由题意知a4，b3，可得c5，故
10、F1(5，0)，F2(5，0)，设P(4sec，3tan)，重心M(x，y)，则xsec，ytan从而有9x216y216(y0)6若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2(且t1t2)，则弦M1M2所在直线的斜率是()At1t2 Bt1t2C D答案A解析设M1(2pt1，2pt)，M2(2pt2，2pt)，因为t1t2，所以kM1M2t2t1二、填空题7已知两曲线参数方程分别为(为参数，且00)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1t20，t1t2p2，求M，N两点间的距离解由题知M，N两点的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，|
11、MN|2p|t1t2|2p4p2故M，N两点间的距离为4p2B级：能力提升练1已知抛物线的参数方程为(t为参数)，则它在x轴上截得的线段的长是多少？解令y0，得抛物线与x轴的交点对应的参数t当t时，x2；当t时，x2故抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(2，0)，所以它在x轴上截得的线段的长为42已知圆O1：x2(y2)21上一点P与双曲线x2y21上一点Q，求P，Q两点距离的最小值解设Q(sec，tan)，在O1QP中，|O1P|1，|O1P|PQ|O1Q|又|O1Q|2sec2(tan2)2(tan21)(tan24tan4)2tan24tan52(tan1)23当tan1，即时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min|PQ|min1
