《2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试:47 空间向量及其应用 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020届高考数学理一轮(新课标通用)考点测试:47 空间向量及其应用 (19页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、考点测试47空间向量及其应用高考概览考纲研读1了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置2会简单应用空间两点间的距离公式3了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直一、基础小题1空间四边形ABCD中,已知M,G分别为BC,CD的中点,则向量()()A B C D答案A解析如图所示,(),故选A2分别以棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B的对角线的
2、交点的坐标为()A0, B,0,C,0 D,答案B解析设所求交点为O,在空间直角坐标系中,点A1(0,0,1),B(1,0,0),则(1,0,0),(0,0,1),故,0,即对角线的交点坐标为,0,故选B3若向量a(2,2,2),b(2,0,4),则a与b的夹角的余弦值为()A B C D0答案C解析cosa,b4设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,2,1),则|AB|等于()A18 B12 C3 D2答案C解析|AB|35在空间四边形ABCD中,()A1 B0 C1 D不确定答案B解析如图,设a,b,c,则(ba)(c)(ca)
3、b(a)(cb)bcaccbabacab06在正方体ABCDA1B1C1D1中,给出以下向量表达式:();();()2;()其中能够化简为向量的是()A B C D答案A解析();();()22;()综上,符合题意故选A7在空间直角坐标系中,已知ABC的顶点坐标分别为A(1,1,2),B(5,6,2),C(1,3,1),则边AC上的高BD()A5 B C4 D2答案A解析设,(0,4,3),则(0,4,3),(4,5,0),(4,45,3)由0,得,所以4,所以|5故选A8已知空间向量a,b,满足|a|b|1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足2ab,3ab,则OAB的面
4、积为_答案解析由已知2ab,3ab,得| ,| cosBOA,sinBOASOAB|sinBOA二、高考小题9(2014广东高考)已知向量a(1,0,1),则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1,1,0)C(0,1,1) D(1,0,1)答案B解析经检验,选项B中向量(1,1,0)与向量a(1,0,1)的夹角的余弦值为,即它们的夹角为60故选B10(2015浙江高考)已知e1,e2是空间单位向量,e1e2若空间向量b满足be12,be2,且对于任意x,yR,|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0,y0R),则x0_,y0_,|b|_答案122解析e1,e2是
5、单位向量,e1e2,cose1,e2,又0e1,e2180,e1,e260不妨把e1,e2放到空间直角坐标系Oxyz的平面xOy中,设e1(1,0,0),则e2,再设b(m,n,r),由be12,be2,得m2,n,则b(2,r)而xe1ye2是平面xOy上任一向量,由|b(xe1ye2)|1知点B(2,r)到平面xOy的距离为1,故可得r1,则b(2,1),|b|2又由|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1知x0e1y0e2(2,0),解得x01,y02三、模拟小题11(2018山东临沂模拟)若直线l的方向向量为a(1,0,2),平面的法向量为n(2,0,4),则()Al BlCl
6、 Dl与斜交答案B解析a(1,0,2),n(2,0,4),即n2a,故an,l12(2018河南安阳联考)设平面的一个法向量为n1(1,2,2),平面的一个法向量为n2(2,4,k),若,则k()A2 B4 C2 D4答案D解析,n1n2,由题意可得,k413(2018河北衡水月考)正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心若向量Axy,则实数x,y的值分别为()Ax1,y1 Bx1,yCx,y Dx,y1答案C14(2018合肥质检)长方体ABCDA1B1C1D1中,AB1,BC2,AA13,点M是BC的中点,点PAC1,QMD,则PQ长度的最小值为()A1 B C D2答
7、案C解析根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x0,2x0,33x0),Q(x1,2x1,3),x0,x10,1,所以PQ ,当且仅当x0,x1时,PQ取得最小值,即PQmin15(2018贵阳模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB90,2ACAA1BC2若二面角B1DCC1的大小为60,则AD的长为()A BC2 D答案A解析如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2)设ADa,则D点坐标为(1,0,a),(1,0,a),(0,2,2),设平面B1CD
8、的一个法向量为m(x,y,z)则令z1,得m(a,1,1),又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0),则由cos60,得,即a,故AD16(2018北京海淀区一模)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是_答案0,1解析以DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1)(0,1,0),(1,1,1)点P在线段BD1上运动,设(,),且01(,1,)10,1一、高考大题1(2018全国卷)如图,边长为2的正方形A
9、BCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)当三棱锥MABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值解(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM又BCCMC,所以DM平面BMC而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz当三棱锥MABC体积最大时,M为的中点由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0
10、),M(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)设n(x,y,z)是平面MAB的法向量,则即可取n(1,0,2)是平面MCD的法向量,因此,cosn,sinn,所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2(2018全国卷)如图,在三棱锥PABC中,ABBC2,PAPBPCAC4,O为AC的中点(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值解(1)证明:因为PAPCAC4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP2连接OB因为ABBCAC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OBAC2由OP2OB2PB2,知OPO
11、B由OPOB,OPAC,ACOBO,知PO平面ABC(2)如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则(0,2,2),取平面PAC的法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2),则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x,y,z)由n0,n0得可取n(a4),a,a),所以cos,n 由已知得|cos,n|所以解得a4(舍去),a所以n又(0,2,2),所以cos,n所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3(2017全国卷)如图,在四棱锥PABCD中,A
12、BCD,且BAPCDP90(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PAPDABDC,APD90,求二面角APBC 的余弦值解(1)证明:由已知BAPCDP90,得ABAP,CDPD因为ABCD,所以ABPD又APDPP,所以AB平面PAD因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD(2)在平面PAD内作PFAD,垂足为点F由(1)可知,AB平面PAD,故ABPF,可得PF平面ABCD以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz由(1)及已知可得A,0,0,P0,0,B,1,0,C,1,0,所以,1,(,0,0),0,(0,1,0)设n(x1,y1,z1)是平面PCB的一个法向量,则即所以可取n(0,1,)设m(x2,y2,z2)是平面PAB的一个法向量,则即所以可取m(1,0,1),则cosn,m由图可知,二面角APBC为钝角,所以二