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1、2009年高考模拟试题大题汇编三1.（北京101中学20082009学年下学期临模高三数学（理科）试卷）已知函数，其中。（1）当时，求曲线在点（2，f（2）处的切线方程；（2）当时，求函数f（x）的单调区间与极值。2.（北京101中学20082009学年下学期临模高三数学（理科）试卷）已知为数列的前n项和，且。（1）求证：数列为等比数列；（2）设，求数列的前n项和；（3）设的前n项和为，求证：。3.（上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试）等差数列an的前n项和为Sn，a12，公差为2，在等比数列bn中，当n2时，b2b3bn=2p(p为常数).(1)求an和Sn；(2)求b1
2、，p和bn；ABCLMNyzxa1a2b1b2c1c2(3)若Tn对于一切正整数n，均有Tn C恒成立，求C的最小值。4.（上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试）(1)设u、v为实数，证明：u2+v2 ；(2)请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题。材料:已知LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：LMN中至少有一边的长不小于 。证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、 CN的长分别设为a1、a2、b1、b2、c1、c2，设LN、LM、MN的长为x、y、z，x2= a12+a222a1a2cos60o= a12+a22a1a2同理：y2= b12+b22b1b2，z2=
3、c12+c22c1c2，x2+y2+z2 = a12+a22+b12+b22+c12+c22a1a2b1b2c1c2请利用(1)的结论，把证明过程补充完整；(3) 已知n边形AAAA内接于边长为1的正n边形A1A2An，(n4)，思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答。5.（上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研）如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，. ，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2） 若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角. 试判断曲线的形状并说明理由；（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内
4、部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点. 以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点. 当点在曲线段上运动时，试提出一个研究有关四面体的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决. 【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】6.（辽宁省营口市2009届高三高考模拟考试） 设函数的定义域为，当时，且对于任意的实数都有 成立，（1）求的值，判断并证明函数的单调性；（2）若数列满足，求的通项公式； （3）如果，求数列的前项和.7.（河南省周口市2009年高三年级第一次模拟考试）已知各项都不为零的数列的前项和是，且，令，数
5、列的前项和是。(1) 求的通项公式；（2) 求证：。8.（安徽省合肥市2009年高三第二次教学质量检测）已知为正项数列的前项和，且满足。 （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）已知函数，数列的通项公式为前项和为，若时，不等式恒成立，求t的取值范围。参考答案1、解：（1）当a=1时，切点坐标为，所求切线方程为；（2）当时，由分类讨论：当a0时，此时，上单减，在上单增；在处取得极小值，在处取得极大值；当时，此时，上单增，在上单减；在处取得极大值，在处取得极小值穿线法 2、解：（1），当时，又，且；（2）由（1）知当n为奇数时，易得；综上，（3），当时，；当，综上，3.解：(1) 因为等差数列
6、数列an的前n项和为Sn，a12，d=2an=2n，(nN*)；Snnn； (2)由于当n2时，b2b3bn=2np(p为常数)，b2b3bn+bn+1=2n+1p两式相减得：bn+1=2n，因为数列bn为等比数列，所以b11，b2=2，由条件可得p2，bn2，(nN*)；(3)因为Tn=，若Tn对于一切正整数n，均有Tn C恒成立，则需C大于或等于Tn的最大值， =，令1得：n2，即有：T12T23=T33T4T5Tn，即数列Tn是先增后减的数列，且Tn的极限是0，故有Tn的最大值为T2T33，又对于一切正整数n，均有TnC恒成立，C3，即C的最小值为3。4.(1)证明：因为u2+v22uv
7、，所以2(u2+v2)(u+v)2，即有：u2+v2 2分(2) 因为 u2+v2 所以x2+y2+z2+a1a2b1b2c1c2= a12+a22+b12+b22+c12+c22 3分=，4分因为x2+y2+z2，所以x2、y2、z2中至少有一个不小于，即在x、y、z中至少有一个不小于。6分(3)解：命题1：如图1，已知四边形MNPQ内接于边长为1的正方形ABCD，求证：四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。MNQPABCDzwa1a2b1b2c1c2d1d2xy图1证明：线段AQ、AM、BM、BN、CN、CP、DP、DQ分别设为a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2，设MN、NP、
8、PQ、QM为w、x、y、z，因为a1+d2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1，所以(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2)=4这四组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a21，那么a21 a1，因为z2= a12+a22a12+(1 a1)2=2a122a1+1=2(a1)2+所以z，即四边形MNPQ中至少有一边的长不小于。命题：3分；证明：3分AA1BB1CC1DD1EE1FF1a2a1b2b1c2c1d2d1e2e1f2f1图2命题2：如图2，已知六边形A1B1C1D1E1F1内接于边长为1的正六边形ABCDEF，求证：六边形A1B1C1D1E1
9、F1中，至少有一边的长不小于。证明：分别设线段AF1、AA1、BA1、BB1、FE1、FF1为a1、a2、b1、b2、f1、f2，如图所示。因为a1+f2=1，a2+b1=1，b2+c1=1，c2+d1=1，d2+e1=1，e2+f1=1，所以(a1+a2)+(b1+b2)+(f1+f2)=6，这六组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a21，那么a21 a1，因为A1F12=AA12+AF122AA1. AF1cos120o=a12+a22+a1a2a12+(1 a1)2+a1(1 a1)=a12a1+1=(a1)2+，所以A1F1，即六边形A1B1C1D1E1F1中，至少有一边的长不小
10、于。AAA1A2A3DAn1Anaa1aa2aa3anAAAa图3命题：5分；证明：5分命题3：如图3，已知n边形AAAA内接于边长为1的正n边形A1A2An，(n4)。求证：n边形AAAA中，至少有一边的长不小于cos(其中n3)。证明：分别设线段A1 A、A1A、A2A、A2A、AnA、AnA为a1、a、a2、a、an、a，因为a1+a= a2+a=a3+a=an+a=1，所以(a1+a)+(a2+a)+(an+a)=n。这n组数中至少有一组数不小于1，不妨假定a1+a1，那么a1 a1，于是在A1AA中有：AA2 = A1A2 + A1A22 A1A.A1Acos = a12+a22a1
11、acosa12+(1 a1)22 a1 (1 a1) cos =2cos+1 a122cos+1 a1+1 =2cos+1( a1)2+1cos 1cos=sin2= cos2。故AAcos，即n边形AAAA中，至少有一边的长不小于cos。命题：7分；证明：7分5.解：解：（1）解法一：由题意，四边形是直角梯形，且，则与所成的角即为. 因为，又平面，所以平面，则有. 因为，,所以，则，即异面直线与所成角的大小为.解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.于是有、，则有，又则异面直线与所成角满足, 所以，异面直线与所成角的大小为.（2）解法一：由条件，过作，垂足为
12、，联结. 于是有，故与所成角即为. 在平面中，以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系. 设动点，则有又平面，所以.所以，即.所以，可判定曲线是双曲线.（2）解法二：如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴， 建立空间直角坐标系.设点，点、点、点，则，由，化简整理得到，则曲线是平面内的双曲线.（3）解：在如图所示的的坐标系中，因为、, 设.则有，故的方程为，代入双曲线E：的方程可得，其中.因为直线与双曲线交于点，故. 进而可得，即.故双曲线E在直角梯形内部（包括边界）的区域满足，. 又设为双曲线段上的动点，.所以， 因为，所以当时，；当时，.而要使圆B与、都有交点，则.故满足题意的
13、圆的半径的取值范围是.【说明】1. 若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得6分.2. 若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分6分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得6分.l 问题一：求四面体体积的取值范围.因为，所以体积为. 故问题可以转化为研究的面积. 又因为为直角，所以必为等腰直角三角形.由前述，设，则，故其面积为，所以.于是，.（当点运动到与点重合时，体积取得最大值；当点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值）l 问题二：求侧棱与底面所成角大小的取值范围.解：因为，所以即为侧棱与底面所成角.而，由于在区间内递增，所以，即.l 问题三：求侧棱与底面所成角大小的取值范围.解：因为，所以即为侧棱与底面所成角.因为，所以，故，.由于在区间内递减，所以，即.l 问题四：求侧面和底面所成的二面角大小的取值范围.解：以为原点，为
