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1、2006年数学三试题分析、详解和评注一、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 （5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(
2、C) . (D) . （8）设函数在处连续，且，则(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在 （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. （10）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数，则该方程的通解是（）. （）. （）. （） （11）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. （12）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线
3、性无关，则线性无关. （13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（）.（）.（）.（）.（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(A) (B) (C) (D) 三 、解答题：1523小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求() ；() .（16）（本题满分7分） 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分） 证明：当时，. （18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图
4、形的面积为时，确定的值.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.()求的特征值与特征向量；()求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.()求的概率密度；() ；().（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值
5、中小于1的个数.（）求的矩估计；（）求的最大似然估计1 【分析】将其对数恒等化求解. 【详解】， 而数列有界，所以. 故 . 【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第1讲第2节【例23】，数学复习指南（经济类）P.30【例1.41】.2. 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，两边对求导得 ， 两边再对求导得 ，又，故 . 【评注】本题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第2讲第2节【例11】，【例12】，数学复习指南（经济类）P.53【例2.18】（几乎一样）.3. 【分析】利用二元函数
6、的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为， ， 所以 . 方法二：对微分得 ，故 . 【评注】本题为基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第9讲第1节【例12】，数学复习指南（经济类）P.162【例6.13】，考研数学过关基本题型（经济类）P.62【例6，例7】及练习.4.【分析】 将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 于是有 ，而，所以.【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲【例6】，数学复习指南（经济类）P.287【例2.12】.5【分析】 利用的独立性及分布计算.
7、【详解】 由题设知，具有相同的概率密度.则.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则.完全类似例题见文登暑期辅导班概率论与数理统计第3讲【例5】，数学复习指南（经济类）P.431【例2.31】.442【例2.50】6, 【分析】利用样本方差的性质即可. 【详解】因为 ， 所以 ，又因是的无偏估计量，所以 . 【评注】本题利用了样本方差是总体的方差的无偏估计量，最好能熟记样本均值和方差的性质和运算.完全类似例题见文登暑期辅导班概率论与数理统计第5讲【例1】和【例2】，数学复习指南（经济类）P.487【例5.1】.488【例5.2】，考研数学过关基本题型（经济类）P.247【例4】及练习
8、.7.【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，故应选(). 【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解：因为，所以单调增加，即，又，则，即.定义一般教科书均有，类似例题见数学复习指南（经济类）P.129【例5.1】，P.151【（）】.8 【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性. 【详解】由知，.又因为在处连续，则 . 令，则. 所以存在，故本题选（C）. 【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题
9、型. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第2讲第1节【例2】，数学复习指南（经济类）P.46【例2.2】.9【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选().或利用排除法：取，则可排除选项（），（）；取，则可排除选项（）.故（）项正确.【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.完全类似例题见数学复习指南（经济类）.232习题八（2（3）题），考研数学过关基本题型（经济类）P.74【例1，例2】及练习.10.【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，
10、故应选().【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.相关性质和定理见数学复习指南（经济类）P.219.11【分析】 利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因为），若，则.故选（）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.本题属基本题型，相关定理见数学复习指南（经济类）.170定理1及.171条件极值的求法.12.【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】
11、记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选().【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见数学复习指南（经济类）P.309【例3.7】，几乎相同试题见文登2006最新模拟试卷（数学一）.（11）.13【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，则有.故应选（）.【评注】（）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见文登暑期辅
12、导班线性代数第2讲【例12】，数学复习指南（经济类）P.290【例2.19】.14.【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).【评注】 对于服从正态分布的随机变量，在考虑它的概率时，一般先将标准化，即.完全类似例题见文登暑期辅导班概率论与数理统计第2讲【例7】和【例8】，数学复习指南（经济类）P.417【例2.7】.15. 【分析】第()问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第()问需利用第()问的结果，含未定式极限. 【详解】() . () （通分） 【评注】本题为基本题型，注意利用洛必达法则求未定式极限时，要充分利用等价无穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化. 完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第1讲第2节【例21】，数学复习指南经济类P.32【例1.45（1）】，P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例1.40】，考研数学过关基本题型（经济类）P.8【例14】，P.9【例16】.16 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可. 【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积
