《高中数学 4.1 坐标系单元测试 苏教版选修4-4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 4.1 坐标系单元测试 苏教版选修4-4（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1 坐标系单元测试一、选择题（每小题5分,共60分）1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆 B.比原来大的圆C.比原来小的圆 D.双曲线答案:D2.在极坐标系中,点M(-2,)的位置,可按如下规则确定( )A.作射线OP,使xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2B.作射线OP,使xOP=,再在射线OP上取点M,使|OM|=2C.作射线OP,使xOP=,再在射线OP的反向延长线上取点M,使|OM|=2D.作射线OP,使xOP=-,再在射线OP上取点M,使|OM|=2答案:B3.极坐标方程sin=(R)表示的曲线是( )A.两条相交直线 B.两条有公共点的射线C.一
2、条直线 D.一条射线答案:C4.直角坐标为(-3,4)的点的极坐标可能是 ( )A.(5,arctan() B.(5,arcsin)C.(-5,-arccos) D.(-5,arccos()答案:C5.将极坐标(2,)化为直角坐标为( )A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0)答案:B6.极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是( )A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线答案:B7.坐标平面内,集合P=(,)|sin=-,R与集合S=(,)|cos=,R之间的关系是( )A.PS PS C.P=S D.上述都不对答案:D8.已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且
3、垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )A.=1 B.=cosC.= D.=解析:画图观察,C正确.答案:C9.在极坐标系中,过点A(6,)作圆=-4cos的切线,则切线长为( )A.2 B.6 C. D.答案:C10.一个三角形的一个顶点在极点,其他两个顶点的极坐标分别为P1(-5,109),P2(4,49),则这个三角形P1OP2的面积为( )A. B. C. D.10答案:A11.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( )A.=2cos(-) B.=2sin(-)C.=2sin(-1) D.=2cos(-1)答案:D12.已知曲线C与曲线=53cos-5sin关于极轴对称,
4、则曲线C的方程是( )A.=-10cos(-) B.=10cos(-)C.=-10cos(+) D.=10cos(+)答案:B二、填空题（每小题4分，共16分）13.将直角坐标P(-1,)化为极坐标(0,02)为_.答案:(2,)14.极坐标方程cos=sin2所表示的曲线是_.答案:一条直线或一个圆15.在同一平面直角坐标系中,由椭圆=1变成圆x2+y2=1的伸缩变换公式为_.答案:16.曲线=0,=(0)和=4所围成的面积是_.答案:三、解答题（共74分）17.(12分)设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为30(万千米)时,经过地球和
5、彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30,试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.解:如图,建立极坐标系,使极点O位于抛物线的焦点处,极轴Ox过抛物线的对称轴,由题设可得下列情形:(1)当=30时,=30(万千米);(2)当=150时,=30(万千米);(3)当=210时,=30(万千米);(4)当=330时,=30(万千米).彗星此时的极坐标有四种情形:(30,30),(30,150),(30,210),(30,330).18.(12分)(1)将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:(x2+y2)2=2a2xy;x-3y=0.(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程:2=cos2;=.解:
6、(1)由(x2+y2)2=2a2xy,得4=2a22cossin.2=2a2cossin,即2=a2sin2.由x-3y=0,得cos-3sin=0,tan=.=arctan.(2)2=cos2两边同时乘以2,得4=2cos2=(cos)2.(x2+y2)2=x2,即有x2+y2=x或x2+y2=-x,它表示两个圆.方程可化为2-cos=4,即2=4+x,两边平方得42=(x+4)2.4x2+4y2=x2+8x+16,即3x2-8x+4y2=16.19.(12分)已知正ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.解:如右图,以BC所在直线为x轴
7、,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,a),B(,0),C(,0).设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+(y-a)2+(x+)2+y2+(x-)2+y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3(y-a)2+a2a2,当且仅当x=0,y=a时,等号成立,所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正ABC的中心.20.(12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角OPA=,在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解:由题意可知|PA|=.又|OQ|=|OP|+|PA|,=2acos(-).21.
8、(12分)半径为a的两个等圆,它们的圆心分别在两条互相垂直相交于点O的定直线上,且两圆都过点O,过点O任意作直线l分别交两圆于A、B,试求出线段AB中点P的轨迹的极坐标方程.解:如图,建立极坐标系,设B(1,),其轨迹为1=2acos.设A(2,),其轨迹为2=2asin,设P(,),则=(1+2)=(2acos+2asin)=a(cos+sin)=asin(+).点P的轨迹的极坐标方程为=asin(+).22.(14分)如图,根据指令(r,)(r0,-180180),机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度(为正时,按逆时针方向旋转,为负时,按顺时针方向旋转|),再朝其面对的方向沿直线行
9、走距离r.(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令.(结果精确到小数点后两位)解:(1)求得r=,=45,故指令为(,45).(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球,则因为小球速度是机器人速度的2倍,所以在相同时间内有|17-x|=,即3x2+2x-161=0.解得x=或x=7.因为要求机器人最快地去截住小球,即小球滚动距离最短,所以x=7.故机器人最快可在点P(7,0)处截住小球,所给的指令为(5,-98.13).6
