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1、3.3 幂函数名师导航知识梳理1.幂函数的概念 定义：形如_的函数叫做幂函数，其中_是自变量，_是常数. 注意：在这里我们只讨论为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1、y=x-1、y=x2+2x、y=2x都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.2.幂函数的定义域 幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合. 如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给 出字母指数，应分四种情况讨论y=xn的定义域.(1)当指数n是正整数
2、时，y=xn的定义域是_.(2)当指数n是正分数时，设n=(p、q是互质的正整数，q1)，则xn=.如果q是奇数，y=xn的定义域是_；如果q是偶数，y=xn的定义域是_.(3)当指数n是负整数时，设n=-k，则xn=.显然x0，y=xn的定义域是.(4)当指数n是负分数时，设n=-(p、q是互质的正整数，q1),则xn=.如果q是奇数，y=xn的定义域是_；如果q是偶数，y=xn的定义域是_.3.幂函数的图象 描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键. 例如，画出函数y=x-2，y=的图象. y=x-2定义域为(-,0)(0,+)(图(1)
3、,x-3-2-1-123y=x-21441 y=定义域为(0,+)(图(2).x14y=4321 (1) (2)4.幂函数的性质 当n0时，幂函数y=xn有下列性质：(1)图象都通过点(0，0)，(1，1)；(2)在第一象限内，函数值y随x的增大而增大. 当n1且p、q互质)时，若q为偶数，则定义域为0,+)；若q为奇数，则定义域为R；当n=-(p、qN*,q1且p、q互质)时，若q为偶数，则定义域为(0,+)；若q为奇数，则定义域为x|x0.问题探究问题1 幂函数与指数函数有何不同？探究思路：虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数y=a2中，指数是自变量
4、，而幂函数y=x中，底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同.问题2 分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点.(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=.探究思路：先将各式化为根式形式：(1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=. 函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断.(1)的定义域为0，+)，(2)(3)(4)的定义域都是R；其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)(4)是奇函数，(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0，0)和
5、(1，1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在x0，+)上单调递增.典题精讲例1 若，则a的取值范围是_.思路解析 因为函数y=在0，+)上单调递增，所以y=在0，+)上单调递减.所以解得a.答案:(，)例2 已知0a1，试比较aa，(aa)a，的大小.思路解析 为比较aa与(aa)a的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=xa(0a1在区间0，+)上是增函数，因此只需比较底数a与aa的大小.由于指数函数y=az(0a1是减函数，且a1，所以aaa，从而aa(aa)a. 比较aa与(aa)a的大小，也可将它们看成底数相同(都是aa)的两个幂，于是可以利用指数函数
6、y=bx(b=aa，0b1)是减函数，由a1，得到aa(aa)a.由于aaa，函数y=az(0a1)是减函数，因此aa.答案:aa(aa)a.例3 下图中曲线是幂函数y=x在第一象限的图象，已知取2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数依次为( )A.-2,-,2 B.2,-,-2 C.-,-2,2, D.2,-2,-思路解析 要确定一个幂函数y=x在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x随着值的改变图象的变化规律.随着的变大，幂函数y=x的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由低向高依次为C1，C2，C3，C4，所以依次为2，-，-2，故选
7、择答案B.答案:B例4 画函数y=1+的草图，并求出其单调区间.思路解析 此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便.解：由y=1+，得y-1=，y=+1. 此函数的图象可由下列变换而得到： 先作函数y=的图象，作其关于y轴的对称图象，即y=的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+的图象(如下图所示).知识导学1.幂函数的定义 一般地，我们把形如y=x的函数称为幂函数，其中，x是自变量，是常数.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同. 掌握幂函数的关键一定要明
8、确“形如y=x的函数”这句话的重要作用. 幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握：(1)当指数n是正整数时，定义域是R.(2)当指数n是正分数时，设n=(p、q是互质的正整数，q1)，则xn=.如果q是奇数，定义域是R；如果q是偶数，定义域是0，+).(3)当指数n是负整数时，设n=-k，xn=，显然x不能为零，所以定义域是x|xR且x0.(4)当指数n是负分数时，设n=-(p、q是互质的正整数，q1)，则xn=.如果q是奇数，定义域是x|xR，且x0；如果q是偶数，定义域是(0，+).2.幂函数的图象与性质 研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=的图象研究归纳y=
9、xn(n0)的图象特征和函数性质，通过对幂函数y=x-2、y=x-3及y=的图象研究归纳y=xn(n0)的图象特征和函数性质.需要注意的有：(1)研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幂函数y=xn(n0)，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n0，0n1和n1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n=0，1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n0(n1)时图象是抛物线型；n0时图象是双曲线型；n1时图象是竖直
10、抛物线型；0n1时图象是横卧抛物线型.记忆口诀： 如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单，大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变，不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数.疑难导析1.对于五种常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3，y=,y=x-1,要熟悉其图象、性质，做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数，以便应用图象及性质解题.2.在幂函数的定义中没有规定定义域，但这并不意味着定义域不用研究.(1)当n是正分数时，设y=，其定义域是使有意义的x的集合；(2)当n是一个负整数或负分数时，设
11、y=，则其定义域是使或有意义的x的集合.问题导思 要注意在很多应用性问题中，从不同角度可将模型处理成不同的函数.幂函数y=xa的性质a0a0图象通过点(0,0),(1,1)图象通过点(1,1)在第一象限内,函数单调递增(函数值随x的增大而增大)在第一象限内,函数单调递减(函数值随x的增大而减小)在第一象限内,图象向上随着a的减小与y轴无限的接近,向右与x轴无限的接近在第一象限内,图象向上随着a的减小与y轴无限的接近,向右与x轴无限的接近指数函数y=ax的性质图象通过点(0,1)图象通过点(0,1)在定义域内,函数单调递增(函数值随x的增大而增大)在定义域内,函数单调递减(函数值随x的增大而减小
12、)在定义域内,图象向上与x轴无限的接近;随着a的减小而无限靠近y轴在定义域内,图象向上与x轴无限的接近;随着a的增大而无限靠近y轴典题导考绿色通道 虽然解决恒成立问题的方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便.黑色陷阱 忘记幂函数底数需大于0，将导致解题失误.典题变式 当x(1，+)时，函数y=x的图象恒在直线y=x的下方，则的取值范围是( )A.1 B.01 C.0 D.0答案:A绿色通道 解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单.典题变式 T1=，T2=，T3=，则下列关系式正确的是( )A.T1T2T3 B.T3T1T2C.T2T3T1 D.T2T1T3答案:D绿色通道 幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的
