《（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用学案 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用学案 理（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3导数的综合应用考点1利用导数研究生活中的优化问题典题1某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意，得200rh160r212 00
2、0，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0)(1)求函数F(x)f(x)g(x)的极值；(2)若函数G(x)f(x)g(x)(a1)x在区间上有两个零点，求实数a的取值范围解(1)由题意知，F(x)f(x)g(x)ax2ln x，F(x)axln xaxax(2ln x1)，由F(x)0得xe，由F(x)0得0xe，故F(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，所以xe为F(x)的极小值点，F(x)极小值F(e)，无极大值(2)G(x)x2aln x(a1)x，G(x)x
3、a1，由G(x)0，得x1或xa(舍去)，当x(0,1)时，G(x)0，G(x)单调递增要使G(x)在区间上有两个零点，需满足即即下面比较与的大小由于0，故，故实数a的取值范围为.设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点(1)解：由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)当x变化时，f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(
4、2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1, 上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，t(x)单调递增；当x(1,0)时，t(x)0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0ln x0)ax2x0，记F(x)xln x(x0)，F(x)(x0)，当0x1时，F(x)1时，F(x)0，F(x)单调递增
5、F(x)F(1)10，a，记G(x)，x，G(x).x，22ln x2(1ln x)0，x2ln x20，x时，G(x)0，G(x)单调递增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1.故实数a的取值范围为1，)点石成金导数在不等式中的应用问题两大解题策略(1)利用导数证明不等式若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的
6、单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 真题演练集训 12015新课标全国卷设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是()A.BC.D答案：D解析： f(0)1a0， x00.又x00是唯一的整数， 即解得a.又a1， a1，故选D.22014陕西卷如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3xByx3xCyx3xDyx3x答案：A解析：设所求函数解析式为yf(x)，由题意知f(5)2，f(5)2，且f(5)0，代入验证易得yx3x符合题意，故选A.32014辽宁卷当x2,1时，不等
