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1、2.2 平面向量的线性运算知识梳理一、向量加法1.向量加法的定义如图2-2-1，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做向量a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.图2-2-1求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a，仍然有a+0=0+a=a.2.向量加法的运算律(1)交换律：a+b=b+a.(2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量减法的定义与a长度相等且方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.求两个向量差的运算叫做向量的减法：a-b=a+(-b)，即向量a减去向量b相当于加上向量b的相反向量-b.三、向量数乘1.向量数乘的定义一般地，实数与向量a的积是
2、一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|=|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；(3)当=0时，a=0.2.向量数乘的运算律设、是实数，则有：(1)(a)=()a； (结合律)(2)(+)a=a+a； (第一分配律)(3)(a+b)=a+b. (第二分配律)知识导学 要学好本节内容，可从数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，从而顺理成章地接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量
3、加法运算的交换律和结合律.减法运算是加法运算的逆运算，应在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形作出减向量.通过探究类比数的运算性质，理解向量的加法交换律和结合律，通过画图验证的实验方法理解向量加法的交换律和结合律.疑难突破1.向量加法的运算法则.剖析：（1）向量加法的平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就表示这两个向量的和.图2-2-2如图2-2-2，以A为起点作向量=a，=b，以、为邻边作ABCD，则以A为起点的对角线就是向量a与b的和，记作向量a+b=.（2）向量加法的三角形法则：
4、根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.使用三角形法则特别要注意“首尾相接”.具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和.简记“首尾相连，首是首，尾是尾”.如设a=,b=,c=,则a+b+c=+=.用三角形法则求两个向量和的步骤是：第一步：将b（或a）平移，使两个向量的一个起点与另一个终点相连；第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和，也就是“作平移，首相连”.注意：三角形法则和平行四边形法则是向量和的基
5、本方法.但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则.2.对向量加法的理解应该掌握哪几点？剖析：(1)两个向量的和仍是一个向量.(2)当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|a|+|b|,这是三角形两边之和大于第三边的向量表示.(3)特殊位置关系的两向量的和：向量a与b共线且方向相同时，a+b的方向与a（或b）的方向相同，且|a+b|=|a|+|b|.如图2-2-3(1).向量a与b反向且|a|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b
6、|=|b|-|a|；如图2-2-3(2).图2-2-33.如何从“相反向量”这个角度求作a-b ？三角形法则可行吗？平行四边形法则呢？剖析：a-b 的作法从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则.减法的三角形法则作法：(a-b) + b= a+ (-b) + b= a+ 0= a，在平面内取一点O，作OA=a, = b,则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量(注意：差向量“箭头”指向被减向量).具体作法如图2-2-4(1)(a、b不共线)和图2-2-4(2)(a、b共线).减法的平行四边形法则作法：当a、b不共线时，如图2-2-4（1）中，在平面
7、内任取一点O，作=a，=-b，则由向量加法的平行四边形法则可得=a+（-b）=a-b，这是向量减法的平行四边形法则.若a、b同向共线，如图2-2-4(2)；若a、b异向共线，如图2-2-4(3).图2-2-44.向量数乘的几何意义剖析：(1)对于向量a(a0)、b，如果有一个实数，使b=a，那么由向量共线的定义知向量a与b共线；已知向量a与b共线，a0，且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|=|a|，那么当a与b同方向时，有b= a，当a与b反方向时，有b=- a.(2)判断向量a(a0)与b是否共线的方法：判断是否有且只有一个实数，使得b= a.(3)判断A、B、C三点共线的方法：判断是否有且只有一个实数，使得=.(4)如果向量a与b不共线，且 a= b，那么=0.(5)向量(1a+2b)=1a+2b可以用平行四边形法则作出，如图2-2-5.图2-2-53
