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1、2017年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)1.已知集合A=1,2,3,4,集合B=3,4,5,则AB=3,4 【解析】集合A=1,2,3,4,集合B=3,4,5,AB=3,42(2017年上海)若排列数A=654,则m=2.3 【解析】排列数A=65(6-m+1),6-m+1=4,即m=3.3(2017年上海)不等式1的解集为3.(-,0) 【解析】由1,得1-1,则0,解得x0,即原不等式的解集为(-,0).4.(2017年上海)已知球的体积为36,则该球主视图的面积等于4.9 【解析】设球的半径为R,则由球的体积为36,可得R
2、3=36,解得R=3.该球的主视图是半径为3的圆,其面积为R2=95(2017年上海)已知复数z满足z+=0,则|z|=5. 【解析】由z+=0,可得z2+3=0,即z2=-3,则z=i,|z|=.6(2017年上海)设双曲线-=1(b0)的焦点为F1,F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|=5,则|PF2|= 6.11 【解析】双曲线-=1中,a=3,由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=6,又|PF1|=5,解得|PF2|=11或1(舍去),故|PF2|=11.7(2017年上海)如图,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直
3、角坐标系,若向量的坐标为(4,3,2),则向量的坐标是7.(-4,3,2) 【解析】由的坐标为(4,3,2),可得A(4,0,0),C(0,3,2),D1(0,0,2),则C1(0,3,2),=(4,3,2)8.(2017年上海)定义在(0,+)上的函数y=f(x)的反函数为y=f1(x),若g(x)=为奇函数,则f-1(x)=2的解为 8. 【解析】g(x)=为奇函数,可得当x0时,x0,即有g(x)=-g(x)=-(3-x-1)=1-3-x,则f(x)=1-3-x.由f-1(x)=2,可得x=f(2)=1-3-2=,即f-1(x)=2的解为.9(2017年上海)已知四个函数:y=-x,y=
4、-,y=x3,y=x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为9. 【解析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n=C=6,“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有,共2个,事件“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=.10(2017年上海)已知数列an和bn,其中an=n2,nN*,bn的项是互不相等的正整数,若对于任意nN*,bn的第an项等于an的第bn项,则=10.2 【解析】an=n2,nN*,若对于一切nN*,bn中的第an项恒等于an中的第bn项,ba=ab=b.b1=b12,b4=b22,b9=b32,b16=b42.b1b
5、4b9b16=(b1b2b3b4)2,=2.11(2017年上海)设1,2R且+=2,则|10-1-2|的最小值等于 11. 【解析】由-1sin 11,可得12+sin 13,则1.同理可得1.要使+=2,则=1,即sin 1=sin 22=-1.所以1=2k1-,22=2k2-,k1,k2Z.所以|10-1-2|=|10-(2k1-)-(k2-)|=|10+-(2k1+k2)|,当2k1+k2=11时,|10-1-2|取得最小值.12(2017年上海)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P1,P2,P3,P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合=P1,P2,P3,P4,点P,
6、过P作直线lP,使得不在lP上的“”的点分布在lP的两侧用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP),则中所有这样的P为 12.P1,P3,P4 【解析】设记为“”的四个点为A,B,C,D,线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示,四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2,则经过点P2的所有直线都是符合条件的直线lP.因此经过点P2的符合条件的直线lP有无数条;经过点P1,P3,P4的符合条件的直线lP各有1条,即直线P2P1,P2P3,P2P4.故中
7、所有这样的P为P1,P3.P4.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13(2017年上海)关于x,y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A.B. C.D.13.C 【解析】关于x,y的二元一次方程组的系数行列式D=故选C14(2017年上海)在数列an中,an=(-)n,nN*,则 an()A.等于-B.等于0C.等于D.不存在14.B 【解析】数列an中,an=(-)n,nN*,则an=(-)n=0故选B15.(2017年上海)已知a,b,c为实常数,数列xn的通项xn=an2+bn+c,nN*,则“存在kN*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列”的一个必要条
8、件是()A.a0B.b0C.c=0D.a-2b+c=015.A 【解析】存在kN*,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列,可得2a(200+k)2+b(200+k)+c=a(100+k)2+b(100+k)+c+a(300+k)2+b(300+k)+c,化简得a=0,使得x100+k,x200+k,x300+k成等差数列的必要条件是a0故选A16(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1和C2:x2+=1P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值记=(P,Q)|P在C1上,Q在C2上且=w,则中的元素有()A.2个B.4个C.8个D.无穷个16.D
9、 【解析】P为椭圆C1:+=1上的动点,Q为C2:x2+=1上的动点,可设P(6cos,2sin),Q(cos,3sin),0,2,则=6coscos+6sinsin=6cos(-),当-=2k,kZ时,取得最大值w=6,即使得=w的点对(P,Q)有无穷多对,中的元素有无穷个.三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17(2017年上海)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小17.【解析】(1)直三棱
10、柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=ABACAA1=425=20.(2)连接AM.直三棱柱ABC-A1B1C1,AA1底面ABC.AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.ABC是直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,点M是BC的中点,AM=BC=.由AA1底面ABC,可得AA1AM,tanA1MA=.直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan18(2017年上海)已知函数f(x)=cos2xsin2x+,x(0,)(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设ABC为锐角三角
11、形,角A所对边a=,角B所对边b=5,若f(A)=0,求ABC的面积18.【解析】(1)函数f(x)=cos2x-sin2x+=cos 2x+,x(0,).由2k-2x2k,解得kxk,kZ.k=1时,x,可得f(x)的增区间为,).(2)f(A)=0,即有cos2A+=0,解得2A=2k.又A为锐角,故A=.又a=,b=5,由正弦定理得sinB=,则cosB=.所以sinC=sin(A+B)=+=.所以SABC=absinC=5=.19(2017年上海)根据预测,某地第n(nN*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn(单位:辆),其中an=bn=n+5,第n个月底的共享单车的保有量是
12、前n个月的累计投放量与累计损失量的差(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量;(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n46)2+8800(单位:辆),设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量?19.【解析】(1)前4个月共享单车的累计投放量为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965,前4个月共享单车的累计损失量为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30,该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530=935(2)令anbn,显然n3时恒成立,当n4时,有10n+470n+5,解得n,第42个月底,保有量达到最
13、大当n4,an为公差为10等差数列,而bn为公差为1的等差数列,到第42个月底,共享单车保有量为39+535-42=39+535-42=8782又S42=4(42-46)2+8800=8736,87828736,第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量20(2017年上海)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆:+y2=1,A为的上顶点,P为上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点(1)若P在第一象限且|OP|=,求P的坐标;(2)设P(,),若以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标;(3)若|MA|=|MP|,直线AQ与交于另一点C且=2,=4,求直线AQ的方程20.
14、【解析】(1)设P(x,y)(x0,y0),由点P在椭圆:+y2=1上且|OP|=,可得解得x2=,y2=,则P(,)(2)设M(x0,0),A(0,1),P(,).若P=90,则=0,即(-,)(x0,)=0,()x0+-=0,解得x0=若M=90,则=0,即(x0,1)(x0,)=0,x02-x0+=0,解得x0=1或x0=.若A=90,则M点在x轴负半轴,不合题意点M的横坐标为或1或(3)设C(2cos,sin),=2,A(0,1),Q(4cos,2sin1).又设P(2cos,sin),M(x0,0),|MA|=|MP|,x02+1=(2cosx0)2+(sin)2,整理得x0=cos.=(4cos2cos,2sinsin1),=(-cos,sin),=4,4cos2cos=5cos,2sinsin1=4sin.