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1、1.3二项式定理庖丁巧解牛知识巧学 一、二项式定理1.公式(a+b)n=(nN*).对二项式公式，令a=1,b=x，则得一个比较常用的公式：(1+x)n=1+xn.（1）(a+b)n的二项展开式共有1项，其中各项的系数（0,1，2,，）叫做二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数. 方法归纳 （1）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐次减1直到零，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到;（2）由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对、赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题
2、，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.（4）二项式系数只与第n项有关，与a,b的大小无关.2.通项公式二项展开式中第1项叫做二项展开式的通项，即Tk+1=an-kbk.（1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要与确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于；（2）通项公式表示的是第1项，而非第项；（3）公式中的第一个量与第二个量的位置不能颠倒. 疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题：（1）求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字
3、母分离开来，以便解决有关问题；（3）通项公式中含有a,b,n,k,Tk+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意是正整数，是非负整数，且.二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数(r=0,1,2,，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项式的幂指数有关的1个组合数，与a,b无关.其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以由得到.（2）增减性与最大值：如果二项式的
4、幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即的二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大.（3）各二项式系数的和：=2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即+=2n-1. 方法点拨 对形如(ax+b)n,(a2+bx+c)m的式子求其展开式的各项系数之和，只需令=1即可，对形如(ax+by)n的式子求其展开式各项系数之和，只需令=1即可. 辨析比较 二项式系数与项的系数是不同的概念.如(a-b)n的二项展开式的通项公式只需把-看成代入原来的二项式定理可得：Tr+1=(-1)ran-rbr，则第1项的二项式系数为，而第1项的系数是(-1)r. 知识拓展 如
5、求（a+bx）n展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A1,A2,，An+1，设第1项系数最大，应有从而解出的值即可.问题探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？ 思路:(a+b)n的二项展开式共有1项，其中各项的系数(k0,1,2,，n)叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)n的展开式中，第1项的二项式系数为，而第1项的系数为an-rbr 探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2
6、x）7的展开式中，第四项是T4=17-3（2x）3，其二项式系数是，则第4项的系数是23=280，它们既有区别，又有联系.求二项式系数的和是2n，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几？11827的末位数字是几？34n+2+5m+1能被14整除吗？等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解. 思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析. 对二项式定理的理解应注意它是
7、一个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规律特点为：它有1项，是和的形式；各项的次数都等于二项式的幂的次数；字母按降幂排列，次数由减到0，字母按升幂排列，次数由0增到.各项的二项式系数依次为：，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择. 探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827，由二项式展开，得容易发现，其个位数字即为1. 二项式定理中，、是任意的，于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令=1，=，则（1+x）n=1+这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如
8、上式中再令=-1，或令、取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题热题例1(2005全国高考)(2x-)9的展开式中，常数项为_.（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为Tr+1=(2x)9-r(-)r=(-1)r29-r.令9-r-=0，得=6.故常数项为T7=(-1)623=672.答案:672 方法归纳 凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式Tr+1=an-rbr，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决. 拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:
9、分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式Tr+1=an-rbr，先确定，再求其系数.令=1，即(3-1)n=128，得=7.由通项公式，得Tr+1=(3x)7-r()r=(-1)r37-r，由7-=-3.解得r=6.故的系数是(-1)63=21.答案:C 深化升华 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x）n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出，再根据的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.解
10、:T6=(2x)5,T7=(2x)6，依题意有25=26，解得n=8.所以(1+2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5=（2x）4=1 120x4.设第1项系数最大，则有.解得5r6.由于r0，1，2，8，所以=5或=6.则系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6. 方法归纳 二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.为奇数时，中间两项的二项式系数最大;为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 误区警示 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x2)6展开式中含x5的项
11、.思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x2)6乘开为多项式，再从中取出含x5的项，但是计算量较大.如果把1+2x-3x2中的两项结合起来，则可看成二项式，从而可利用二项式定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x5的系数. 解:原式=1+(2x-3x2)6=1+(2x-3x2)+(2x-3x2)2+(2x-3x2)3+(2x-3x2)6.可以看出，继续将右端展开后，在(2x-3x2)3,(x-3x2)4,(2x-3x2)5这三部分的展开式中都含有x5的项，它们分别是：2(-3)2x5,23(-3)x5,25x5.把这三项合并后，就得到(1+2x-
12、3x2)6展开式中含的项是-168x5. 方法归纳 用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题.例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001.思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二项式定理展开计算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6（-0.002）1+15(-0.002)2+（-0.002）6.因为T3=（-0.002）2=15(-0.002)2=0.000 060.001，且第三项以后的绝对值都小于0.001，所以从
13、第三项起，以后的项可以忽略不计.则0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988. 深化升华 由(1+x)n=1+x+x2+xn，当的绝对值与1相比很小且很大时，x2,x3,，xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用近似计算公式：(1+x)n1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：(1+x)n1+nx+x2.例5求证：对任何非负整数，33n-26n-1可被676整除.思路分析:当=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当2时，由于注意到676等于262，而33n=27n=(26-1)n.可以用二项式展开，看各项中是否均能含有262.解:当=0时，原式等于0，可被676整除.当=1时，原式=0，也可被676整除.当2时，原式=27n-26n-1=(26+1)n-26n-1=(26n+26n-1+262+26+1)-26n-1=26n+26n-1+262.每一项都含有262这个因数，故可被262=676整除.综上所述，对一切非负整数，33n-26n-1可被676整除. 方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.5
