《2018二次函数专题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018二次函数专题.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一二次函数、圆切线、三角函数、面积最值的综合题24（14分）（2017黔东南州）如图，M的圆心M（1，2），M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PFy轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x2）（x
2、+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）连接AM，过点M作MGAD，垂足为G先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明MAG=ABD，故此可证明AMAB；（3）先证明FPE=FBD则PF：PE：EF=5：2：1则PEF的面积=15PF2，设点P的坐标为（x，29x249x+169），则F（x，12x+4）然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x2）（x+4），将点M的坐标代入得：9a=2，解得：a=29抛物线的解析式为y=29x249x+169
3、（2）连接AM，过点M作MGAD，垂足为G把x=0代入y=12x+4得：y=4，A（0，4）将y=0代入得：0=12x+4，解得x=8，B（8，0）OA=4，OB=8M（1，2），A（0，4），MG=1，AG=2tanMAG=tanABO=12MAG=ABOOAB+ABO=90，MAG+OAB=90，即MAB=90l是M的切线（3）PFE+FPE=90，FBD+PFE=90，FPE=FBDtanFPE=12PF：PE：EF=5：2：1PEF的面积=12PEEF=12255PF55PF=15PF2当PF最小时，PEF的面积最小设点P的坐标为（x，29x249x+169），则F（x，12x+4）P
4、F=（12x+4）（29x249x+169）=12x+4+29x2+49x169=29x2118x+209=29（x18）2+7132当x=18时，PF有最小值，PF的最小值为7132P（18，5532）PEF的面积的最小值为=15（7132）2=【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、锐角三角函数的定义，列出PF与x的函数关系式是解题的关键二、二次函数综合：待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识23（11分）（2017河南）如图，直线y=23x+c与x轴交于点A（
5、3，0），与y轴交于点B，抛物线y=43x2+bx+c经过点A，B（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与APM相似，求点M的坐标；点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值【考点】HF：二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式
6、；（2）由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分NBP=90和BNP=90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值【解答】解：（1）y=23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，0=2+c，解得c=2，B（0，2），抛物线y=43x2+bx+c经过点A，B，&-12+3b+c=0&c=2，解得&b=103&c=2，抛物线解析式为y=43x2+103x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y=
7、23x+2，M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，P（m，23m+2），N（m，43m2+103m+2），PM=23m+2，PA=3m，PN=43m2+103m+2（23m+2）=43m2+4m，BPN和APM相似，且BPN=APM，BNP=AMP=90或NBP=AMP=90，当BNP=90时，则有BNMN，BN=OM=m，BNAM=PNPM，即m3-m=-43m2+4m-23m+2，解得m=0（舍去）或m=2，M（2，0）；当NBP=90时，则有PNPA=BPMP，A（3，0），B（0，2），P（m，23m+2），BP=m2+(-23m+2-
8、2)2=133m，AP=(m-3)2+(-23m+2)2=133（3m），-43m2+4m133(3-m)=133m-23m+2，解得m=0（舍去）或m=118，M（118，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与APM相似时，点M的坐标为（2，0）或（118，0）；由可知M（m，0），P（m，23m+2），N（m，43m2+103m+2），M，P，N三点为“共谐点”，有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（23m+2）=43m2+103m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=12；当M为线段PN的中点时，则有23m+2+（43m2+
9、103m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=1；当N为线段PM的中点时，则有23m+2=2（43m2+103m+2），解得m=3（舍去）或m=14；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为12或1或14【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大三、二次函数的
10、应用、线段的和差、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型23（9分）（2016淄博）已知，点M是二次函数y=ax2（a0）图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MNx轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF【分析】（1）设Q（m，），F（0，），根据QO=QF列出方程即可解决问题（2）设M（t，t2），Q（m，），根据KOM=KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列
11、出方程即可解决问题（3）设M（n，n2）（n0），则N（n，0），F（0，），利用勾股定理求出MF即可解决问题【解答】解：（1）圆心O的纵坐标为，设Q（m，），F（0，），QO=QF，m2+（）2=m2+（）2，a=1，抛物线为y=x2（2）M在抛物线上，设M（t，t2），Q（m，），O、Q、M在同一直线上，KOM=KOQ，=，m=，QO=QM，m2+（）2=（mt）2=（t2）2，整理得到： t2+t4+t22mt=0，4t4+3t21=0，（t2+1）（4t21）=0，t1=，t2=，当t1=时，m1=，当t2=时，m2=M1（，），Q1（，），M2（，），Q2（，）（3）设M（n，n2）
12、（n0），N（n，0），F（0，），MF=n2+，MN+OF=n2+，MF=MN+OF【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型22（10分）（2017河南）如图1，在RtABC中，A=90，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想 图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN，位置关系是PMPN；（2）探究证明 把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸 把ADE
13、绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出PMN面积的最大值【考点】RB：几何变换综合题菁优网版权所有【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出ABDACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论【解答】解：（1）点P，N是BC，CD的中点，PNBD，PN=12BD
14、，点P，M是CD，DE的中点，PMCE，PM=12CE，AB=AC，AD=AE，BD=CE，PM=PN，PNBD，DPN=ADC，PMCE，DPM=DCA，BAC=90，ADC+ACD=90，MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90，PMPN，故答案为：PM=PN，PMPN，（2）由旋转知，BAD=CAE，AB=AC，AD=AE，ABDACE（SAS），ABD=ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，PM=PN，PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PMCE，DPM=DCE，同（1）的方法得，PNBD，PNC=DBC，DPN=DCB+PNC=DCB+DBC，MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC=ACB+ABD+DBC=ACB+ABC，
