《高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第3课时）教案 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第3课时）教案 新人教a版选修2-3（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第三课时教学目标知识与技能分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用过程与方法通过对简单实例的分析概括，总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用的方法情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力和分类讨论能力重点难点教学重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用教学难点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用提出问题1：有四位同学参加三项不同的比赛，(1)每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？(2)每项比赛只许一位同学参加，有多少种不同的结果？提出问题2：设集合Aa，b，c，d，e，f
2、，Bx，y，z，则从集合A到B共有多少个不同的映射？活动设计：请同学分析思路和解法依据，再请另外的同学补充活动成果：问题1.(1)分四步，每位同学选一个项目为一步，每位同学有三种选择，即每步有三种不同的方法，根据分步乘法计数原理，四位同学共有参赛方法：333381种；(2)分三步，每项比赛选择一名同学参加为一步，每项比赛被选择的方法有四种，即每步有四种不同的方法，根据分步乘法计数原理，三项比赛共有参赛方法：44464种问题2.分6步：先选a的象，有3种可能，再选b的象也是3种可能，最后选f的象也有3种可能，由分步乘法计数原理知，共有36729种不同的映射设计意图：通过两个简单的问题，引导学生回
3、顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理提出问题3：请同学们回忆推广的两个原理的内容，并回忆两个原理的区别与联系活动设计：教师提问，学生回答，请不同的同学加以补充活动成果：1分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理：完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系：(1)
4、相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题；(2)不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成设计意图：检查学生对两个原理的掌握情况，为本节课的学习提供知识和方法基础例1计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试程序员需要知道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路线)，以便知道
5、需要提供多少个测试数据一般地，一个程序模块由许多子模块组成，它是一个具有许多执行路径的程序模块问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？思路分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束而第1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理解：由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3中的子路径条数共为18452891；子模块4或子模块5中的子路径条数共为384381
6、.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为91817 371.在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常总共需要的测试次数为1845283843172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为326.如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常这样，测试整个模块的次数就变为1726178.点评：通过这个例题，我们发现，先分类再分步计数，比先分步再分类计数，在技术次数上要少很多例2随着人们生活水平的提高
7、，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？思路分析：按照新规定，牌照可以分为两类，即字母组合在左和字母组合在右确定一个牌照的字母和数字可以分六个步骤解：将汽车牌照分为两类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右字母组合在左时，分六个步骤确定一个牌照的字母和数字：第一步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；第二步，从剩下的25个字母中选1个，放在第二位，有25种选法；第三步，从
8、剩下的24个字母中选1个，放在第三位，有24种选法；第四步，从10个数字中选1个，放在第四位，有10种选法；第五步，从剩下的9个数字中选1个，放在第五位，有9种选法；第六步，从剩下的8个数字中选1个，放在第六位，有8种选法根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照个数为262524109811 232 000.同理，字母组合在右的牌照个数也是11 232 000.所以，共能给11 232 00011 232 00022 464 000辆汽车上牌照点评：先分类再分步使得问题变得简单，如果先分步再分类则显得无从下手提出问题1：根据以上问题的解决过程，你能归纳一下用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解
9、决计数问题的方法吗？活动设计：分组讨论后，举手发言，教师请不同的同学加以补充活动成果：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细的分析需要分类还是需要分步分类要做到“不重不漏”分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，计算总数分步要做到“步骤完整”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数设计意图：引导学生总结方法，进一步加深对两个原理的理解提出问题2：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，你认为，分步乘法计数原理和分类加法计数原理具有怎样的关系？你得到什么启示？
10、活动设计：分组讨论后，举手发言，教师请不同的同学加以补充活动成果：分步乘法计数原理是分类加法计数原理的简化，所以在解决问题时分类是根本，分步起到简化的作用设计意图：进一步加深对两个原理的理解，确立分类的主题方法地位【巩固练习】1如图，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：从总体上看，由甲到丙有两类不同的走法：第一类，由甲经乙去丙，又需分两步，所以m1236种不同的走法；第二类，由甲经丁去丙，也需分两步，所以m2428种不同的走法；所以从甲地到丙地共有N6814种不同的走法2求下列集合的元素个数
11、(1)M(x，y)|x，yN，xy6；(2)H(x，y)|x，yN,1x4,1y5解：(1)分7类：x0，y有7种取法；x1，y有6种取法；x2，y有5种取法；x3，y有4种取法；x4，y有3种取法；x5，y有2种取法；x6，y只有1种取法因此M共有765432128个元素(2)分两步：先选x，有4种可能；再选y，有5种可能由分步乘法计数原理，H共有4520个元素【变练演编】用0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)可以组成多少个不同的三位数？(3)可以组成多少个无重复数字的三位的奇数？(4)可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？(5)可以组
12、成多少个大于3 000，小于5 421的无重复数字的四位数？解：(1)解法一：分三步：先选百位数字由于0不能作百位数，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法根据分步乘法计数原理知所求不同三位数共有554100个解法二：分两类：第一类，选择0.分三步：先确定0的位置，有2种选法；确定百位数字，有5种选法；确定剩下的一位数字，有4种选法根据分步乘法计数原理，这一类共有25440个数第二类：不选0.分三步：先选百位数字，有5种选法；十位数字有4种选法；个位数字有3种选法根据分步乘法计数原理知，这一类共有54360个数根据分类加法计数原理，共有4060100个数解法三：排除法若不考虑0
13、的特殊性，共有654120种不同的排法，其中0在百位的有5420种排法，所以三位数共有12020100个(2)解法一：分三步：先选百位数字由于0不能作百位数，因此有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法根据分步乘法计数原理知所求不同三位数共有566180个解法二：排除法若不考虑0的特殊性，共有666216种不同的排法，其中0在百位的有6636种排法，所以三位数共有21636180个(3)解法一：分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数字，有4种选法；选十位数字也是4种选法，所求三位奇数共有34448个解法二：分两类：第一类，首位选奇数；第二类，首位不选奇数第一类分三步，先确定百位
14、数字，有3种选择；第二步，确定个位数字，有2种选择；第三步，确定十位数字，有4种选择根据分步乘法计数原理，这一类共有32424个不同的奇数第二类分三步，先确定百位数字，有2种选择；第二步，确定个位数字，有3种选择；第三步，确定十位数字，有4种选择根据分步乘法计数原理，这一类共有23424个不同的奇数根据分类加法计数原理，共有242448个不同的奇数(4)分三类：一位数，共有6个；两位数，共有5525个；三位数共有554100个因此，比1 000小的自然数共有625100131个(5)分4类：千位数字为3,4之一时，共有2543120个；千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有44348个；千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有236个；还有5 420也是满足条件的1个故所求自然数共1204861175个点评：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.【达标检测】1集合A1,2，3，B1，2,3,4，从A，B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标，(1)可以得到多少个不同的点？(2)这些点中，位于第一象限的有几个？2有三个车队分别有5辆、6辆、7辆车，现欲从其中两个车队各抽调一辆车外出执行任务，有多少种不同的抽调方案？答案：1.(1)24(2)82.1071知识收获：分类加
