《高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合（第2课时）教案 新人教a版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合（第2课时）教案 新人教a版选修2-3（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.2组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个
2、人担任班长和团支部书记活动设计：教师提问活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2组合与排列的区别和联系：(1)区别：排列有顺序，组合无顺序相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同(2)联系：都是从n个不同的元素中选出m(mn)个元素；排列可以看成先组合再全排列设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：练习1：求证：CC.(本式也可变形为：mCnC)练习2：计算：C和C；CC与C；C
3、C.活动设计：学生板演活动成果：练习2答案：120,12020,20792.1组合数的概念：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C表示2组合数的公式：C或C(n，mN，且mn)设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充活动成果：1性质：(1)CC；(2)CCC.2证明：(1)C，又C，CC.(2)CCC，CCC.设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质类型一：组合数的性质1(1)计算：C
4、CCC；(2)求证：CC2CC.(1)解：原式CCCCCCC210；(2)证明：右边(CC)(CC)CCC左边【巩固练习】求证：C2C3CnCn2n1.证明：左边C2C3CnCCCCCCCCC，其中CC可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数设某班有n个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长把这种选法按取到的人数i分类(i1,2，n)，则选法总数即为原式左边现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的n1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n1种，所以选法总数为n2n1种显然，两种选法是一致的，故左边右边，等式成立【变练演编】求证：C22C3
5、2Cn2Cn(n1)2n2.证明：由于i2CCCC可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况若组长和副组长是同一个人，则有n2n1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n1)2n2种选法共有n2n1n(n1)2n2n(n1)2n2种选法显然，两种选法是一致的，故左边右边，等式成立类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰
6、好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有C161 700种(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有CC9 506种(3)解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有CCCC9 604种解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是
7、从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即CC161 700152 0969 604种点评：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解【巩固练习】14名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C，CC，CC种方法，所以，一共有CCCCC100种方法解法二：(间接法)CC100.2按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；
8、(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)CC36；(2)CC126；(3)CC126；(4)CC378；(5)方法一：(直接法)CCCCCC756，方法二：(间接法)CCC756；(6)方法一：(直接法)CCCCCC666，方法二：(间接法)CCC666.【变练演编】有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有CC5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有CCCCCC60种；第三类：2名英、法语皆通的均选，有
9、ACCCCCC120种根据分类加法计数原理，共有560120185种不同的名单【达标检测】1计算：(1)CC；(2)2CCC.2从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为_3从7人中选出3人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有_种答案：1.(1)161 700(2)562.93.301知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题2方法收获：化归的思想方法3思维收获：化归的思想方法【基础练习】1求证：(1)CCCC；(2)CC2CC.2某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯
10、不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有_3100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4从编号为1,2,3，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？答案或解答：2.C56；3解：(1)C2 555 190；(2)CCCCCCCCC1 366 035；(3)CCCCCCCCC3 921 015.4解：分为三类：1奇4偶有CC；3奇2偶有CC；5奇有C，所以一共有CCCCC236种不同的取法【拓展练习】现有8名青年，
11、其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有CC；让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有CC；让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有CC.所以一共有CCCCCC42种方法本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程本节课的设计特点是
12、：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结相同元素分组分配问题解决方法：档板法(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有_种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有_种解析：利用档板法(1)相当于在排成一排的10个“1”所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C种方法注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1x2xmn(m，nN，m，n2)的自然数解有C组简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换yixi1(i1,2，m)，则方程x1x2xmn的自然数解的组数，即y1y2ymnm的正整数解的组数，相当于把nm个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在nm1个球的间隙中放置m1个档板的方法种数，即C.5
