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1、1.5 场向量的微分方程-波动方程,MAXWELL微分方程组，在数学上 多重耦合、 多变量、 求解困难. 一般先导出由单个场向量所给定的解耦的微分方程。 由MAXWELL方程组导出由场向量H、B、E、D或J所满足的偏微分方程。,H的导出方程：,对于线性、均匀且各向同性媒质，设场域中无自由电荷，则由式（1-1）取旋度，并以：J=gE 代入，便得,由于 代入（1-27），即得 同理可证 式（1-28）、（1-29）就是由一个场分量（H、B、E、D）所描述的一般齐次波动方程。,在特定情况下，基于以上各场分量的导出方程可进一步分别归结为 ： (1)理想介质（g=0）中的电磁波方程（波动方程） (2)良
2、导电媒质（gwe）中的涡流方程（扩散或热传导方程）,(3)正弦稳态时变场中的涡流方程（相量形式的扩散或热传导方程） (4)没有自由电荷分布区域中的静电场方程（拉普拉斯方程） (5)没有传导电流分布区域中的恒定磁场方程（拉普拉斯方程）,1.6 位函数的微分方程 -位函数和波方程,一个场向量的微分方程对应于三个标量微分方程。即在任一场点上，待求的自由度数是三个，因此离散化后的自由度数是相当可观的。 为减少待求自由度数，提高计算效率，同时，也为了简化概念，构造简便的数学模型，引入和应用各种电磁场位函数。,(有源）,位函数,引入多种辅助函数，即位函数（如电位），然后由源（如电荷）求位函数，再由位函数计
3、算电场或磁场。 位函数有： 矢量位A， 标量位f， 赫兹（Herz）矢量位P,位函数定义如下(周希朗）,可以证明，位函数满足以下形式的微分方程,因上各式的解为波函数，因此也称它们为波（动）方程。,在无源无耗区，赫兹位满足以下方程,由赫兹位计算电场和磁场的公式为,在直角坐标系中，矢量位的三个分量均满足波动方程； 在柱坐标系中，矢量位的z分量满足波动方程； 在球坐标系中，矢量位的所有分量均无法满足波方程。,故在球坐标系中，引入德拜（Deby）位，,1.6.1 动态场中的动态位方程,由任意向量旋度的散度与任意标量梯度的旋度均恒等于零，对动态电磁场，可验证有 以上两式分别定义了： 动态向量位函数A(r
4、, t) 动态标量位函数j(r, t) 它们自动满足MAXWELL方程组中（1-3）和（1-2）。,但须知，引入位函数表示场量B和E，含有任意性的成分。 因为如果令 则可给出同样的B和E。 位函数按照式（1-37）和（1-38）的变换，称为规范变换，而保持B和E不变性，则称为规范不变性。 由于存在这一规范不变性，所以对应于一组B和E的值，可以有无穷多组A和j的取值，即位函数不是唯一的。,任意性可以导致随意规定，要采用规范对A的散度施加约束条件。 规范的选择原则： ）唯一地确定相应的位函数值， ）可简化相应的位函数方程。 通常，对自由空间中的动态电磁场，引入如下的洛仑兹规范：,由此可导出简单而且
5、对称的位函数方程组 上两式是分别关于动态向量位A和动态标量位j的非齐次波动方程，常称为达朗贝尔方程。 这两个方程和式（1-39）（洛仑兹规范）一起构成了与MAXWELL方程组等价的一个方程组。,对于时谐电磁场，场空间中各场点的动态位A(r, t )和j (r, t)也可分别再用复相量表示为 和 ，而相应的达朗贝尔方程的相量形式就成为 式中： ，称为相位速度；w为正弦激励的角频率。,1.6.2 磁准静态场中的动态位方程,对于磁准静态场，在忽略位移电流的前提下，式（1-39）即成为 上式A的散度是施加的约束条件，被称为库仑规范。 相应地，式（1-40）也就简化为 但注意，由于此时在导电媒质内伴随有
6、涡流与集肤效应，因而无从预先给定截流导体内电流密度J的分布。换句话说，不可能依据式（1-45）直接求解动态位A。,分析表明，在导电媒质中流通的电流都遵从式（1-7），而其中的电流密度既应表征由外源施加的电流密度Js，又应表征媒质内感生的涡流密度Je，即 代入式（1-36）， 可得,注意到在静态极限情况下上式将归结为， 因此，可以对式（1-47）中每一项的物理意义作出判断，即 动态标量位j可看作为自由电荷系统（体、面、线电荷系统）所产生的标量位场， 而动态向量位A则与时变的电流分布相联系，从而可选择涡流密度：,在以上分析基础上，依据基本方程（1-14），结合关系式（1-46）、（1-47），可得
7、描述磁准静态场的动态位方程为 上式兼容了场域中可能存在非线性媒质的一般情况。 若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则引入库仑规范，式（1-48）可简化为,对于正弦稳态条件下的磁准静态场，动态位方程（1-49）的相量形式即为 解耦情况下的动态标量位j在设定场空间电荷密度r=0的前提下，应满足拉普拉斯方程，即,1.6.3 静态场中的位函数方程,在静态电场情况下，根据其基本方程组（1-19）、（1-20），同理可以定义 式中，标量位函数j(r)称为电位函数。 可导得等价的位函数方程即泊松方程 在无电荷分布的场域中，位函数j应满足拉普拉斯方程,在静态磁场情况下，根据其基本方程组（1-21）、（1-22）
8、，同样可定义向量磁位函数A(r)，满足 从而等价的向量磁位函数的双旋度方程为 若场域中媒质为各向同性的线性媒质，则计入库仑规范，式（1-56）可简化为向量形式的泊松方程,在无电流区域中，静态磁场的基本方程（1-21）变成 这样，就可以引入标量磁位函数jm(r)，而令 显然，标量磁位恒满足拉普拉斯方程,补充：（一）波方程的基本解,在均匀、各向同性区域，基本解有平面波、柱面波、球面波。 基本术语： 等相面：在同一时刻，空间波动中相位相同的点连成的表面； 等幅面：在同一时刻，空间波动中振幅相同的点连成的表面； 平面波：等相面为平面的波； 均匀平面波：等相面和等幅面重合的平面波； 非均匀平面波：等相面
9、与等幅面不重合的平面波； 球面波：等相面为球面的波； 柱面波：等相面为柱面的波。,平面波,在均匀、各向同性区域，直角坐标系中的波方程的基本解为均匀平面波。 平面波的简单表达式为,式中,如略去时间因子，即用复矢量表示，则平面波电场为,由Maxwell方程，可得平面波磁场的表达式,相对于传播方向，均匀平面波的电场、磁场只有横向分量，因此称为横电磁波或TEM波。,散射问题常用到角谱 理想均匀平面波只在单一方向传播，在角度域只有一条谱。 复杂电磁波可分解为许多理想平面波的集合，表示成平面波角谱PWS（plane wave spectrum）。 从数学上看，每个平面波都是一个d函数。 正如复杂时间信号经
10、过Fourier变换可表示为频谱一样，空间场的平面波谱概念非常重要。,柱面波,在无源区域，赫兹位的波方程为,可以证明有,产生简单理想柱面波的源为无限长电流线或磁流线,与平面波不同，式中电磁波传播矢量的方向k和径向矢量r的方向处处相同。因此球面波因子可表示为,球面波,在球坐标下，引用赫兹位或德拜位，通过球坐标的波动方程和分离变量法可得到球面波的解。 一个点源天线在远区产生球面波。 设理想点源处于球坐标的原点，球面波的基本解可表示为,可见，电磁波的等幅面和等相面重合，它们分布在r等于常数的球面上。,根据能量守恒定理，随观察面与理想点源间距离的增加，场强的振幅按1/r规律衰减。 一般来说，只要等相面
11、为球面，电磁波就是球面波。 实际天线不是理想天线，它们都不能产生理想均匀球面波。故A=A(q, f)是方位角的函数，即天线有方向性。,（二）自由空间中Maxwell方程的解 -波方程解的导出,在洛仑兹规范下， 矢量位的矢量姆霍兹方程为 标量位标量姆霍兹方程为 在某些正交坐标系下，矢量姆霍兹方程可简化为标量姆霍兹方程,（三个）,而标量姆霍兹方程的格林函数为 这里r代表源点位置，r代表场点位置。 因此有,而标量位可由洛仑兹规范得到 也可由标量位姆霍兹方程得到,于是电场E也有两种表达式： 注意这两种表达式的不同。 前者的两个D算子都是对场点r，即都是作用在格林函数G上，导致积分核奇异点阶次很高。然由
12、于等效源无需被作用，在某些条件下如计算远场，能化简得到简明的表达式。因而此表达式一般用于计算远场。 后者的两个D算子，一个对场点r，作用在格林函数G上；一个对源点r，作用在等效源上，因而积分核奇异点阶次低于前者，一般用于计算近场。,因此也可得 为简洁，引入两个积分微分算子L、K，分别定义为 这样电磁场E和H可写成 E=ZL(J); H=K(J) 这里,用相同的方法或电磁对偶原理可求出等效磁流产生的电磁场为 H=L(J)/Z; E=-K(J) 于是根据线性叠加原理，电流和磁流共同产生的电磁场为 E=ZL(J) -K(J); H=L(J) /Z+K(J),（三）金属体散射问题积分方程的建立,假设有
13、一个电磁波Ei、Hi照射到一个边界为S的金属体上，此金属体自然会产生散射场。 下面介绍如何建立一个积分方程来求解出散射场。 在S上应用等效原理的第一形式可：散射场可等效为由S上的等效源在均匀介质中产生的场。 这组等源满足 Jms=En Jes=nH 由于金属体表面的切向电场为零，因而上面的等效磁流源为零。,故散射场可只用等效电流J表达出 Es=ZL(J) Hs=K(J) 根据总场为入射场与散射场之和可得 E=Ei+ZL(J) H=Hi+K(J) 上第一式两边叉乘n，即金属体表面的切向电场，应为零可得 Ei+ZL(J)|t=0 此式即为电场积分方程，它由电场边界条件建立。 上第二式两边叉乘n可得 J-nK(J)=nHi 此式即为磁场积分方程，它由磁场边界条件建立。,原则上，电场积分方程和磁场积分方程是等价的，但从求解角度说，它们有不同的本质。 因为电场积分方程中，未知函数等效电流J只出现在算子L的积分里，而磁场积分方程中，J不仅出现在算子K的积分里，还出现在积分外，故在数学上它们分属不同的积分类型，前者属于第一类弗雷德霍姆积分方程，后者属于第二类弗雷德霍姆积分方程。 同样地，根据等效原理还可对均匀介质体散射问题建立积分方程；也可对非均匀介质散射问题建立积分方程。,
