《2019届高考数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法课件 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习 第六章 数列 第一节 数列的概念及简单表示法课件 文（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 数列的概念及简单表示法,总纲目录,教材研读,1.数列的定义,考点突破,2.数列的分类,3.数列的表示法,考点二 an与Sn关系的应用,考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式,考点三 由递推关系求数列的通项公式,4.数列的通项公式,考点四 数列的性质,1.数列的定义 按照 一定顺序 排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这 个数列的 项 .,教材研读,2.数列的分类,3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是 列表法 、 图象法 和 通项公式法 .,4.数列的通项公式 如果数列an的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.,5.已
2、知数列an的前n项和Sn, 则an=,1.已知nN*,给出4个表达式:an= an= ,an= ,an= .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,的通项公式的 是 ( ) A. B. C. D.,A,答案 A 检验知都可以是所给数列的通项公式.,2.数列-1, ,- , ,- ,的一个通项公式为 ( ) A.an= B.an=(-1)n C.an=(-1)n+1 D.an=,B,答案 B,3.已知数列an的通项公式为an=n2-8n+15,则3 ( ) A.不是数列an中的项 B.只是数列an中的第2项 C.只是数列an中的第6项 D.是数列an中的第2项或第6项,D,答案 D 令a
3、n=3,即n2-8n+15=3, 解得n=2或6, 故3是数列an中的第2项或第6项.,4.在数列an中,a1=1,an=1+ (n2),则a5= ( ) A. B. C. D.,D,答案 D a1=1,a2=1+ =2,a3=1- = ,a4=1+ =3,a5=1- = .,5.下列图形的点数构成数列an,则a8等于 ( ) A.17 B.22 C.25 D.28,B,答案 B 解法一:由题图知,a1=1,a2=4,a3=7,从第2个图开始,每一图的点 数比它的上一个图多3,则有a8=a7+3=a6+3+3=a5+3+3+3=a4+3+3+3+3=a3+ 3+3+3+3+3=7+53=22.
4、 解法二:由a1=1,a2=4,a3=7,知an的一个通项公式为an=3n-2, 所以a8=38-2=22,故选B.,6.已知数列an的前n项和Sn=2n2+n,则an= .,4n-1,答案 4n-1,典例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,; (2)0.8,0.88,0.888,; (3) , ,- , ,- , ,; (4) ,1, , ,.,考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式,考点突破,解析 (1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1来调整,原数列各项的绝对值的 排列规律为后面的数的绝对值总比前面一个数的绝对值大6,故原数列 的一
5、个通项公式为an=(-1)n(6n-5).,(2)将数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),故原数列的一 个通项公式为an= . (3)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出第2,3,4,项的分子分别比分 母少3,因此把第1项变为- ,则原数列可化为- , ,- , ,原数列的一个通项公式为an=(-1)n . (4)将数列变为 , , , ,对于分子3,5,7,9,是相应项数的2倍加1, 可得分子的一个通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,联想到数列 1,4,9,16,即数列n2,可得分母的一个通项公式为cn=n2+1,原数列的 一个通项
6、公式为an= .,方法技巧 (1)根据所给数列的前几项求其一个通项公式时,需仔细观察分析,抓住 以下几方面的特征: 分式中分子、分母的特征; 相邻项的变化特征; 拆项后的特征; 各项符号特征. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法, 它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠 的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.,1-1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7,; (2)2,5,10,17,; (3) , , , , ,; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,; (5)1
7、,2,2,4,3,8,4,16,5,.,典例2 (1)已知数列an的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列an的通项公 式为 ( ) A.an=2n-3 B.an=2n+3 C.an= D.an= (2)(2015课标全国,16,5分)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+ 1,则Sn= .,考点二 an与Sn关系的应用,答案 (1)C (2)-,解析 (1)当n=1时,a1=S1=1, 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-3, 由于n=1时,a1=1不符合上式, 故an= (2)an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1
8、=-1,知Sn0, - =1, 是等差数列,且公差为-1,而 = =-1, =-1+(n-1)(-1)=-n,Sn =- .,方法技巧 Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.,2-1 已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则an= .,答案,典例3 (2018广东惠州质检)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*), 求数列an的通项公式.,考点三 由递
9、推关系求数列的通项公式 命题方向一 形如an+1=an+f(n),求an,解析 由题意有a2-a1=2,a3-a2=3, an-an-1=n(n2). 以上各式相加,得an-a1=2+3+n= = . a1=1,an= (n2). 当n=1时也满足此式,an= (nN*).,命题方向二 形如an+1=anf(n),求an,典例4 在数列an中,a1=1,an= an-1(n2),求数列an的通项公式.,解析 an= an-1(n2), an-1= an-2,an-2= an-3,a2= a1. 以上(n-1)个式子相乘得, an=a1 = = . 当n=1时,a1=1,符合上式,an= (nN
10、*).,命题方向三 形如an+1=Aan+B(A0且A1),求an,典例5 已知数列an满足a1=1,an+1=3an+2,求数列an的通项公式.,命题方向四 形如an+1= (A,B,C为常数),求an,典例6 已知数列an中,a1=1,an+1= ,则数列an的通项公式an = .,答案 (nN*),解析 因为an+1= ,a1=1,所以an0,所以 = + ,即 - = .又a1 =1,则 =1,所以 是以1为首项, 为公差的等差数列.所以 = +(n- 1) = + .所以an= (nN*).,方法技巧 由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“
11、累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ (a3-a2)+(a2-a1)+a1. (2)已知a1且 =f(n),可用“累乘法”求an,即an= a1. (3)已知a1且an+1=Aan+B,则an+1+k=A(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可 转化为等比数列an+k. (4)形如an+1= (A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方 法构造新数列求解.,3-1 已知数列an满足a1=1,a2=4,an+2+2an=3an+1(nN*),则数列an的通 项公式an= .,32n-1-2,答案 32n-1-2,3-2 在数列an中,a1=3,an+1
12、=an+ ,则通项公式an= .,答案 4-,解析 原递推公式可化为an+1=an+ - , 则a2=a1+ - ,a3=a2+ - , a4=a3+ - ,an-1=an-2+ - ,an=an-1+ - ,累计相加得,an=a1+1- ,故an=4- .,典例7 (1)数列an的通项公式为an= ,则数列an中的最大项的 值是 ( ) A.3 B.19 C. D. (2)数列an满足an+1= ,a8=2,则a1= .,考点四 数列的性质,答案 (1)C (2),解析 (1)由题意得an= ,运用基本不等式得, ,当且仅 当n2=90时等号成立,结合nN*,不难发现a9=a10= 最大.
13、(2)由an+1= ,得an=1- , a8=2,a7=1- = ,a6=1- =-1,a5=1- =2, an是以3为周期的数列,a1=a7= .,方法技巧,1.解决数列单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数 列还是常数列. (2)用作商比较法,根据 (an0或an0)与1的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断.,3.求数列最大项或最小项的方法 (1)利用不等式组 (n2)找到数列的最大项; (2)利用不等式组 (n2)找到数列的最小项.,2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再
14、根据周期性求 值.,同类练 (1)设an=-3n2+15n-18(nN*),则数列an中的最大项的值是 ( ) A. B. C.4 D.0 (2)数列an满足an+1= a1= ,则数列的第2 017项为 .,答案 (1)D (2),解析 (1)an=-3 + (nN*),由二次函数图象可得当n=2或3时,an取 得最大值0. (2)由已知可得a2= ,a3= ,a4= ,a5= ,则数列an是以4为周期的周 期数列,所以a2 017=a1= .,变式练 已知an是递增数列,且对于任意的nN*,an=n2+n恒成立,则 实数的取值范围是 .,(-3,+),答案 (-3,+),解析 对于任意的n
15、N*,an=n2+n恒成立, an+1-an=(n+1)2+(n+1)-n2-n=2n+1+. 又an是递增数列, an+1-an0,且当n=1时,an+1-an最小, an+1-ana2-a1=3+0, -3.,深化练 已知an= sin ,Sn=a1+a2+an,nN*,则在S1,S2,S2 016中,值为 正数的个数为 ( ) A.2 016 B.2 015 C.1 003 D.1 008,答案 A 依题意知,a10,a20,a500,a510,a520,a1000, 考虑到y= 的递减性及正弦函数的周期性,有a1+a510,a2+a520,故S 1,S2,S100均为正数,以此类推,可知S1,S2,S2 016均为正数,故选A.,A,
