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1、2014-2018全国各省文科立体几何大题真题 一、解答题（共35小题；共455分）1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=6，BAD=60，G 为 BC 的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 2. 如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G（1）证明：G 是 AB 的中点；（2）在图中作出点 E
2、 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积 3. 如图，四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明 MN平面PAB；（2）求四面体 NBCM 的体积 4. 如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=23DA，求三棱锥 QABP 的体积
3、 5. 如图，在三棱锥 VABC 中，平面VAB平面ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 AC=BC=2，O，M 分别为 AB，VA 的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB；（3）求三棱锥 VABC 的体积 6. 如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 7. 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C，D 的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线
4、段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面PBD?说明理由 8. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点（1）求证：PEBC；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）求证：EF平面PCD； 9. 如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD1. 证明：ACBD；2. 已知 ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 10. 如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面
5、 ABCD，AB=BC=12AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线BC平面PAD；（2）若 PCD 面积为 27，求四棱锥 PABCD 的体积 11. 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且 BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 12. 如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当 PA平面BDE 时，求三棱锥 E
6、BCD 的体积 13. 如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2（1）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（2）求证：PD平面PBC；（3）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 14. 由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面ABCD（1）证明：A1O平面B1CD1；（2）设 M 是 OD 的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1 15. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC
7、平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC；（3）设点 E 为 AB 的中点在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面CEF?说明理由 16. 在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB（1）已知 AB=BC，AE=EC求证：ACFB；（2）已知 G 、 H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面ABC 17. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H将 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置（1）证明：ACHD；（2）若 AB=5，
8、AC=6，AE=54，OD=22，求五棱锥 DABCFE 的体积 18. 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求四面体 NBCM 的体积 19. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 56，A1B1 长为 3，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小 20. 如图，在四棱锥中 PABCD 中，PAC
9、D，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=12AD（1）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面PAB，并说明理由；（2）证明：平面 PAB平面PBD 21. 如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，底面的一条直径为 AB，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧 CB 的中点，已知 PO=2，OA=1，求三棱锥 PAOC 的体积，并求异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值 22. 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方
10、形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（1）请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线 DF平面BEG 24. 如图，三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60，（1）求三棱锥 PABC 的体积；（2）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求 PMMC 的值 25. 如图，三棱台 DEFABC 中，AB=2DE，
11、G，H 分别为 AC，BC 的中点（1）求证：BD平面FGH；（2）若 CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH 26. 如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3（1）证明：BC平面PDA；（2）证明：BCPD；（3）求点 C 到平面 PDA 的距离 27. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱PD底面ABCD，且 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，连接 DE，BD，BE（1）证明：DE平面PBC试判断四面体 EB
12、CD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由（2）记阳马 PABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求 V1V2 的值 28. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 BC，CC1 的中点（1）证明：平面AEF平面B1BCC1；（2）若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45，求三棱锥 FAEC 的体积 29. 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1（1）若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC平面PDO
13、；（2）求三棱锥 PABC 体积的最大值；（3）若 BC=2，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值 30. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，BAD=60，G 为 BC 的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 31. 如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面ABCD（1）证明：平面AEC平面BED；（2）若 ABC=120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面
14、积 32. 如图，已知 AA1平面ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点（1）求证：EF平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1平面BCB1；（3）求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小 33. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点（1）证明：A1D平面A1BC；（2）求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值 34. 如图，三棱锥 PABC 中，平面PAC平面ABC，ABC=2，点 D，E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EFBC（1）证明：AB平面PFE；（2）若四棱锥 PDFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长 35. 如图（1），在直角梯形 ABCD
