结构动力学基础全文

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1、 结构动力学基础 宋一凡 编写 长安大学桥梁研究所 2014-02-20 2 课程简介 随着现代工程技术和物理学的发展，结构动力分析已经发展成为具有工程应用价值的 新兴学科。本课程作为桥梁结构动力分析与抗震的基础，系统地介绍了结构动力学的基 本理论、基本原理和分析方法。主要内容有：经典动力学原理，单、双自由度体系的振动理 论，非线性结构响应数值分析原理等。 目 录 第一章 结构动力学简述.1 第二章 动力学原理.3 2-1 约束3 2-1-1 完整约束错误错误！未定义书签未定义书签。 2-1-2 非完整约束错误错误！未定义书签未定义书签。 2-2 广义力3 2-3 达朗贝（DALEMBERT）

2、原理.4 2-4 拉格朗日（LAGRANGE）方程4 2-4-1 动能4 2-4-2 拉格朗日方程5 2-5 哈密尔顿（HAMILTON）原理.8 第三章 单自由度体系振动.10 3-1 单自由度体系的力学模型及其运动方程10 3-1-1 单自由度运动方程10 3-1-2 示例11 3-2 单自由度体系的自由振动12 3-2-1 无阻尼自由振动（0c）.12 3-2-2 有阻尼的自由振动（0c ）13 3-3 单自由度体系在简谐荷载下的响应16 3-3-1 无阻尼单自由度体系在简谐荷载下的响应16 3-2-2 有阻尼单自由度体系在简谐荷载下的响应18 3-4 利用共振峰求阻尼比的方法21 3-

3、5 单自由度体系在冲击荷载作用下的响应22 3-5-1 冲击荷载的特性22 3-5-2 正弦波脉冲22 3-5-3 矩形冲击荷载24 3-5-4 三角形冲击荷载25 3-5-5 冲击荷载作用下的结构响应26 3-5-6 一般激振力作用下的结构响应27 第四章 双自由度体系的振动.29 4-1 双自由度体系的一般振动方程29 4-2 双自由度体系的无阻尼振动30 4-2-1 无阻尼时的运动方程30 4-3 双自由度体系的无阻尼振动39 4-4 拍的现象40 4-5 动力消耗42 4-5-1 动力消振原理42 4-5-2 消振器在高耸结构上的应用45 第五章 非线性结构响应的数值分析原理.46 5

4、-1 线性加速度法46 5-2 WILSON-法49 5-3 关于数值积分的精度问题50 1 第一章 结构动力学简述 近几十年来，对工程结构进行动力分析的要求日益迫切。这是由于： 1）各种工程结构尺寸的增大、薄壁轻型结构和高耸结构的出现，使风荷载对结构强度 及稳定性产生了举足轻重的影响。1940 年秋，美国 Tacoma 悬索桥由于风致振动而破坏，这 一严重故事震惊了当时的桥梁工程界。从此，对风致振动的研究得到了足够的重视。研究表 明，对于象悬索桥这种大跨度的柔性桥梁结构，在设计时必须考虑风振的影响。大跨径连续 梁及高墩连续刚构等桥梁的动力学行为已列为国家西部攻关课题进行专项研究。 此外， 还

5、有 运行车辆对桥梁结构的振动影响也是人们正在研究的课题。 2）在世界各地每年都有强烈地震发生，为了减少或避免地震对工程结构物的破坏，目 前人们正在努力研究抗震设计问题、寻找在役工程结构抗震性能评估方法。 3）离岸结构海洋平台的出现。海洋平台结构承受的荷载是风、浪、流、冰及地震 海啸等动力环境荷载，特别是对深水域的海洋平台，在设计时必须对结构进行动力分析。 4）建筑物的抗爆，桥梁结构抗撞击。 5）在厂房中由于桁吊运动引起的振动。 6）动力设备基础结构的振动分析。 除了上述情况外，还有其他需要考虑对工程结构进行动力分析，等等。 对工程结构进行动力分析的目的是保证工程结构在整个使用期间，在可能发生的

6、动力 荷载作用下能够正常地工作，并确保它安全、可靠。这就要求寻求结构在任意动力荷载作用 下随时间而变化的响应（响应包括位移、应变和应力等） 。寻求结构响应可以用分析的和试 验的方法。对于很复杂的问题往往两种方法同时并用。本课程仅讨论分析的方法。 动力荷载是指荷载的大小、方向或位置是随时间而变化的荷载。如果荷载随时间变化 得十分缓慢以致动力影响微乎其微，这时可以把荷载看成是静载。因此，荷载究竟当作动力 荷载还是当作静力荷载是相对的。 结构动力问题不同于静力问题表现在二个重要方面：第一，动力问题具有随时间而变 化的性质。由于荷载和响应因时而异，故动力分析要比静力分析更为复杂且费时间。第二， 更为重

7、要的是在动力问题中位移加速度起了很大的作用（即惯性力作用） ，这就是结构动力 学问题的一个很主要的特征。 一般来说， 如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载中 的一个重要部分，则必须按动力分析方法求解。反之，如果荷载随时间变化十分缓慢，从而 运动也缓慢到致使惯性力小到可以忽略不计的程度，那么，即使荷载和响应随时间而变化， 但对任何瞬时的分析，仍可用静力分析的方法来解决问题。 计算结构在动力荷载作用下的响应基本上有两种不同的方法： 确定性和非确定性的 （或 称概率性的也有叫做随机性的） 。在具体情况下，究竟选用哪一种方法将取决于荷载、结构 系统的参数以及初始条件是如何规定的。严格言之，如果前

8、述三个方面（荷载、参数、初始 条件）是完全确定已知时，则用确定性分析方法。在通常所遇到的多数问题中，为了使问题 简化而又不致影响分析结果的精度， 都假定结构参数及初始条件是完全确定、 已知的。 因此， 2 在这种情况下，如何规定荷载，将直接决定分析方法的选用。这时，如果荷载随时间的变化 可用时间的定函数形式表示时， 那么， 尽管它是高度变化不定的或者其性质是不规则变化的， 我们仍把它叫做确定性荷载，相应的结构响应分析也被定义为确定性分析方法。反之，如果 荷载随时间的变化不是完全确定、已知的，但可以用统计特征来进行描述的话，则这种荷载 叫做随机荷载，而非确定性（概率性或随机性）分析方法是对应于随

9、机荷载下的响应分析。 当然，分析的结果也只能用统计特征来进行描述。 用确定性方法对结构进行动力分析时，首先要求出结构在动力荷载作用下其位移随时 间变化的情况，即要求出结构在某种荷载-时间历程作用下，相应的位移-时间历程；然后即 可求出结构的其他响应，如应力、内力等的时间历程。本课程仅讨论确定性结构动力分析方 法。 用非确定性方法分析时，不能采用上述确定性分析方法的那一套程序，因为在非确定 性分析中所求得的位移仅仅是某种统计特征值，而其他响应（比如应力）的统计特征值和位 移统计特征值之间没有象确定性分析时位移和应力之间的那种简单关系。 因此， 如果要求应 力统计特征值的话， 还得用特定的非确定性

10、分析方法直接计算， 而不是由所得的位移统计特 征值来计算。非确定性动力分析方法可参考其它相关文献，这里不作叙述。 图图 1-1 各种解法示意各种解法示意 解 的 方 法 解析解或封闭解 数值解 根据经验的经验近似 控制微分方程的边界积分方程法 有限元（包括边界元）法 数值积分差分法 加权余量 伽辽金配点子域最小二乘 变分法与瑞莱李兹法 3 第二章 分析力学原理 分析力学（analytical mechanics）是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化 的表达。可以认为 1788 年拉格朗日（法国籍意大利裔数学家和天文学家）发表的奠基之作 分析力学（Mcanique analytique

11、） 是此分支的开始。 经典力学最初的表达形式由牛顿给出， 大量运用几何方法和矢量作为研究工具， 因此它 又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”） 。拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义坐标 和变分法，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述 方法具有更大的普遍性。 很多在矢量力学中极为复杂的问题， 运用分析力学可以较为简便的 解决。 分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中， 在量子力学和非线性 动力学中都有重要应用。 分析力学又分为拉格朗日力学和哈密顿力学。 前者以拉格朗日量刻画力学系统， 运动方 程称为拉格朗日方程， 后者以哈密顿量刻画力学系统，

12、 运动方程为哈密顿正则方程 （Hamilton Canonical Equation） 。 2-1 广义力概念 设若给定作用于具有N个质点的系统上的一组力 111 , xyzxNyNzN FFFFFF， 则这些 力的虚功为 1 () N xjjyjjzjj j WFxFyFz （2-1） 现在假定N个质点对应有N个通常的直角坐标 111 , NNN x y zxyz，经式 12 12 12 (, ) (, ) (, ) iin iin iin xx q qq t yy q qq t zz q qq t 的变换，使其与n个广义坐标 n qqq, 21 相联系，则有 1 1 1 n j ji i

13、i n j ji i i n j ji i i x xq q y yq q z zq q （j=1,2, ，N ） （2-2） 一般说来，上式中的偏导数 jjj iii xyz qqq ，均为,., 12n q qq和t的函数。 则虚功为 4 1111 11 11 1 () () + + =+ Nnnn jjj jxijyjzi jiii iii Nn jjj jxjyjzi ji iii nN jjj jxjyjzi ij iii n ii i xyz WFqFFq qqq xyz FFFq qqq xyz FFFq qqq Q q （2-3） 式中 1 ()+ N jjj ijxjyjz

14、j iii xyz QFFF qqq （2-4） 因此， i Q和 i q分别叫作相应于广义坐标 i q的广义力和广义位移 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲，乘积 ii qQ必须是功或能的量纲，换言之， i Q与 i q在能量的意义上共轭。 在分析力学原理中，广义力的概念非常有用。 2-2 达朗贝（DAlembert）原理 再来考察具有N个质点的系统，对于每个质点写出牛顿第二定律 iii rmRF （2-5a） 或 0 iii rmRF （2-5b） 式中： i F 和 i R 分别为作用在第i个质点上的主动力和约束力； iir m 具有力的量纲，叫做作用于第i个质点上的惯性力。 其中： i

15、m是常质量； i r 是相对于惯性参考系的加速度矢量。 与惯性力不同，习惯上把 i F 和 i R 叫做真实力或实际力。因此，式（2-5b）表示作用于 系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之矢量和等于零。 这样就把一个动力学问题转化成 一个静力学问题，也就是通常所说的动静法。 2-3 拉格朗日（Lagrange）方程 2-3-1 动能 考 察 一 个 具 有N个 质 点 的 系 统 ， 各 质 点 相 对 于惯 性 参 考 系 的 直 角 坐 标 为 111 , NNN x y zxyz。系统的动能T可表成 222 1 1 () 2 N kkkk k Tm xyz （2-6） 5 现用广义坐标 n qqq, 21 来表示功能。 设 111 , NNN x y zxyz与,., 12n q qq之间有 如下的变换式： 12 12 12 (, ) (, ) (, ) kkn kkn kkn xx q qq t yy q qq t zz q qq t