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1、20102010 年高考大纲卷全国年高考大纲卷全国理科数学试题解析理科数学试题解析 ( (必修必修+ +选修选修 II)II) 第第 I I 卷卷 参考公式：参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式A、B ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径A、B 球的体积公式()( )( )P A BP A P BAA 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是，那么 p 3 3 4 VR 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中 R 表示球的半径nAk ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一、选择题一、选择题
2、1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. C 9. B 10. C 11. D 12. B (1)复数 32 23 i i (A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13iii 1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析 1】. 32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13 iiiii i iii 【解析 2】 2 3232 2323 iii i ii (2)记,那么cos( 80 )k tan100 A. B. - C. D. - 2 1k k 2 1k k 2 1 k k 2 1 k k
3、2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突 出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析 1】, 222 sin801 cos 801 cos ( 80 )1 k 所以tan100tan80 2 sin801 . cos80 k k 【解析 2】，cos( 80 )k cos(80 )k 00 0 00 sin 18080 sin100sin80 tan100 1008018080 o oo conconcon 2 1 k k (3)若变量满足约束条件, x y 1, 0, 20, y xy xy 则的最大值为2zxy (A)4 (B)3 (C)2 (D)1
4、 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、 识图能力及计算能力. 【解析 1】画出可行域（如右图） ，由图可知,当直线 l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 . max 1 2 ( 1)3z 【解析 2】，画图知过点是最大， 11 2 22 zxyyxz1, 1 1 213 Max z （4）已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，则= n a 123 a a a 789 a a a 456 a a a (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归
5、的数学思想. 【解析 1】由等比数列的性质知， 3 1231322 ()5a a aa aaaA 10,所以,所以 3 7897988 ()a a aa aaaA 1 3 28 50a a 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA (5)的展开式中 x 的系数是 353 (12) (1)xx (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 【解析 2】=5； 123 a a a 3 2 5a =10， 789 a a a 3 8 10,a 6333 5284565 505 2aa aa a aa 0xy 1 O yx y 20xy x A 0
6、: 20lxy L0 2 2 A 第 3 页 共 19 页 A B C D A1 B1 C1 D1 O 5.C【解析】 2 124513 353 333322 (12) (1)1 61281 510105xxxxxxxxxx x的系数是 -10+12=2 (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想. 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1
7、 门,B 类选修课选 2 门,有种不同的 12 34 C C 选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有种不同的选法.所以不同的选法共 21 34 C C 有+种. 12 34 C C 21 34 18 1230C C 【解析 2】 333 734 30CCC (7)正方体 ABCD-中，B与平面 AC所成角的余弦值为 1111 ABC D 1 B 1 D A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离 的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思 1
8、 D 想的具体体现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 B与平面 AC所成角和 DD1与平 1 B 1 D 面 AC所成角相等,设 DO平面 AC，由等体积法得 1 D 1 D , 11 D ACDDACD VV 即.设 DD1=a, 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD 则,. 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A 2 11 22 ACD SAD CDa A 所以,记 DD1与平面 AC所成角为, 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A 1 D 则,所以. 1 3 sin 3 DO DD 6 cos
9、 3 【解析 2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC 1, OO 1 O O 1 D 1 B 所成角， 1 D 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD （8）设 a=2,b=In2,c=,则 3 log 1 2 5 A af(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+). 2 1 【解析 2】由 00，所以. 456 a a a n a 456 505 2a a a 5.C 解析：本题考查了二项式定理.展开式的通项为， 3 (12)x 2 133 (2)2 r rrrr r TCxC x 展开式的通项为，因此， 53 (1)x 3 3 155 (
10、)( 1) r rrrr r TCxC x 展开式的各项为，当时有且 353 (12) (1)xx 23 35 ( 1)2 rr rrrr CCx 1 23 r r 0r 或且两种情况，因此展开式中的系数为（-10）+12=2，故选 C.3r 2r 0r x 6.A 解析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A 类选修课 1 门，B 类选修课 2 门，或者 A 类选修课 2 门，B 类选修课 1 门，因此，共有种选法， 2112 3434 30CCCC O x y=1 x+y=0 x-y-2=0 y A Z=x-2y 故选 A. 7.D 解析：本题考查了立体几何中线面角的求法. 与平面所
11、成角等于与平 1 BB 1 ACD 1 DD 面所成角,在三棱锥中，由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面内的射 1 ACD 1 DACD 1 ACD 影为等边的垂心即中心 H，则为与平面所成角,设正方体棱长 1 ACD 1 DD H 1 DD 1 ACD 为 a,则，故选 D. 1 6 6 3 cos 3 a DD H a 8.C 解析：本题考查了代数式大小比较的方法.，又 3 ln2 log 2ln2 ln3 ab ，因此，故选 C. 1 2 11 5 25 c 33 1 log 2log3 2 a cab 9.B 解析：本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题.由双曲线焦点三角形面积公式得 ，
12、设 P 到 x 轴的距离为 h，则由 12 2 cot1 cot303 2 F PF Sb ，P 到 x 轴的距离为，选 B. 12 12 11 2 23 22 F PF SFFhh 6 2 h 6 2 10.C 解析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意 ，由得，因此，01ab ( )( )f af blglgablglg0ab1ab ，由对勾函数性质知在单调递减，因此，即 2 2aba a 2 yx x (0,1)23ab 的取值范围是，故选 C.2ab(3,) 11.D 解析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设,|OPx ,
13、2APB 则，, ， 2 | |1PAPBx 1 sin x 2 2 2 cos21 2 sin1 t 则 222 22 22 11 (1)32 23PA PBxxx xx 当且仅当时，取“=” ，故的最小值为，故选 D. 2 2x PA PB 2 23 12.B 解析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过 OCD 三 点作球的截面，交 AB 于点 M，由条件知，、均为边长为 2 的等边三角形，OABOCD 设 M 到 CD 的距离为，A 到面 MCD 的距离为，B 到面 MCD 的距离为，h 1 h 2 h 则，因此， 1212 11 1 ()() 33 2 A B
14、CDA MCDB MCDMCD VVVShhCD hhh A B C D M O 第 11 页 共 19 页 当 AB面 MCD 时， 最大，故选 B. 1 14 3 2 2 3 (1 1) 3 23 A BCD V 二、填空题二、填空题 13. 解析：本题考查了不等式的基本性质. 由得 |02xx 2 211xx ，不等式解集为. 2 22 101 211 21(1)02 xx xx xxx 02x . |02xx 14. 解析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式以及两角和差的三角函数公式.由， 1 7 2 3 cos22cos1 5 且为第三象限角得，得， 5 cos 5 tan2 ，. 4 tan2 3 1tan21 tan(2 ) 41tan27 15 解析：本题考查了利用数形结合的思 5 1 4 a 想解题的策略. 如图，作出的图像， 2 |yxxa 若要使与其有四个交点，需满足，1y 1
