《高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理互动课堂学案 苏教版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理互动课堂学案 苏教版选修1-2（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2 演绎推理互动课堂疏导引导 “三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的原本就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其他命题. 像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是：利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论. 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式. 演绎推理的主要形式,就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表
2、示：MP(M是P) 三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是：若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P. 三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论. 例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提. 如图所示,在锐角ABC中,ADBC,BEAC,D、E是垂足.求证：AB的中点M到D、E的距离相等.分析：解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三
3、角形, (大前提) 在ABD中,ADBC,即ADB=90, (小前提) 所以ABD是直角三角形. (结论) 同理,AEB也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， (大前提) 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线， (小前提) 所以DM=. (结论) 同理，EM=，所以，DM=EM.案例 已知函数f(x)=ax+(a1).证明：函数f(x)在(-1，+)上为增函数.【探究】用演绎推理解决问题的常见模式是三段论.证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y=f(x)满足：在给定区间内任取两个自变量x1,x2，若x1x2,则有f(x1)f(x2),小前提是函数
4、f(x)=ax+(a1) 在(-1，+)上满足增函数的定义，这是证明本例的关键.证明：设-1x1x2,f(x2)-f(x1)=+-=-+-=()+ =()+ 因为x2-x10,又a1,所以-x11. 所以，而-1x1x2, 所以x1+10,x2+10,所以f(x2)-f(x1)0,f(x)在(-1,+)上为增函数.规律总结 演绎推理一般分三段，称为“三段论”，其中第一段称为“大前提”，指的是一个一般原理.第二段称为“小前提”指的是一种特殊情况，第三段称为“结论”是所得的结论，当大前提是很显然时，一般可以省略不写.演绎推理在数学命题的推理中是常用的方法，证题中要注意灵活应用.活学巧用例1 已知a
5、、bR,求证：.证明：设f(x)=,x0,+),x1、x2是0,+)上的任意两个实数,且0x1x2,f(x2)-f(x1)=. 因为x2x10,所以f(x2)f(x1). 所以f(x)=在0,+)上是增函数.(大前提) 由|a|+|b|a+b|0,(小前提) 知f(|a|+|b|)f(|a+b|)(结论),即成立.例2 梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在梯形ABCD中(如图),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证：AC平分BCD,DB平分CBA.证明：(1)等腰三角形两底角相等(大前提),DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰(小前提),1=2(结论).
6、(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角(小前提),1=3(结论).(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),2和3都等于1(小前提),2=3(结论),即AC平分BCD.(4)同理,DB平分CBA.例3 已知函数f(x)=,其中a0,b0,x(0,+),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.证明：设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=()-()=(x2-x1)(). 当0x1x2时,则x2-x10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在(0,上是减函数. 当时,则x2-x10,f(x1)-f(x
7、2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在,+)上是增函数.例4 已知函数f(x)=(a0且a1)(1)证明：函数y=f(x)的图象关于点()对称；(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.证明：函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x,y),它 关于点(,)对称的点的坐标为(1-x,-1-y).由已知，y=, 则-1-y=,f(1-x)=,-1-y=f(1-x). 即函数y=f(x)的图象关于点()对称.(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x). 即f(x)+f(1-x)=-1.f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.4
