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1、 中国高校勤工助学在线网站 转载2007年数学三试题分析、详解和评注一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有； 可见应选(B).完全类似例题见经典讲义P.26例1.60, 例1.61, 例1.62及辅导班讲义例1.6（2）设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：(A)
2、 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在【 】【答案】 应选(D).【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且=存在，但在x=0处不可导 .重要提示见经典讲义P.38，完全类似例题见P.40例2.1, 例2.6及P.56习题2及辅导班讲义例2.5(3)如图，连续函数y=f(x)在区间3，2，2，3上的图
3、形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是(A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】 应选(C).【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的
4、巧妙之处。完全类似例题见经典讲义P.143例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12（4）设函数f(x, y)连续，则二次积分等于(A) . (B) .(C) . (D) . 【 】【答案】 应选(B).【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。【详解】 积分区域 D: , 也可表示为 D: , 故 =，应选(B).【评注】 确定y的取值范围时应注意：当时，y=sinx=, 于是，从而完全类似例题见经典讲义P.189例10.13, 例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9（5）设某商品的需求函数为，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等
5、于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40. 【 】【答案】 应选(D).【详解】 由题设，有 ，即，解得P=40. 应选(D).完全类似例题见经典讲义P.214例12.6, 例12.16（6）曲线，渐近线的条数为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】【答案】 应选(D).【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】 因为，所以为垂直渐近线；又 ，所以y=0为水平渐近线；进一步，=， = =，于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). 【评注】 一般来说，有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线
6、，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行讨论。重要知识点提示见经典讲义P.136页，类似例题见P.141例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8(7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】【答案】应选(A) .【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 ，即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) .【详解2】用定义进行判定:令，得 .因线性无关，所以 又 ，故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C),
7、 (D)中的向量组都是线性无关的.这是一个基本题，完全类似的问题见经典讲义P265例3.5和辅导班上对应章节的例题(8) 设矩阵, , 则A与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . (C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】【答案】应选 (B) .【详解】 由 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似. 又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(A) .【评注】1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值.
8、2)若A、B为实对称矩阵, 则 A与B合同 r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数.完全类似的问题见历年真题（三）P253的小结(9) 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0p1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (A) (B) .(C) (D) 【 】【答案】应选 (C) .【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：. 故选(C) . 几乎原题见经典讲义P445例题4.1中的情况, 完全类似的问题见P386例1.44(10) 设随机变量(,)服从二维正态分布，且与
9、不相关，分别表示，的概率密度，则在y的条件下，的密度为(A) (B) (C ) . (D) 【 】【答案】应选 (A) .【详解】因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 =. 因此选(A) .【评注】对于二维连续型随机变量(,)，有与相互独立 f (x, y)=.完全相同的问题见经典讲义P422二维正态分布的性质4二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11）= .【答案】 应填0.【详解】 因为，而sinx+cosx有界，故 =0.重要知识点提示见P.6，完全类似例题见经典讲义P.15例1.27, 例1.33（12）设函数则= .【答案】
10、应填【详解】 一般地， ，从而 =完全类似例题见经典讲义P.53例2.42, 例2.44及辅导班讲义例2.16（13）设f (u, v)是二元可微函数，则 .【答案】 应填 【详解】，于是有 =完全类似例题见辅导班讲义例9.6及经典讲义P182习题1-3（14）微分方程满足的特解为 .【答案】应填 【详解】作变量代换，则，代入原方程得 ，即 ，积分并代入初始条件得 重要知识点说明见经典讲义P.154，完全类似例题见真题三P.146-147(15) 设矩阵, 则的秩为_.【答案】应填1 .【详解】依矩阵乘法直接计算得 , 故r()=1. 完全类似的问题见经典讲义P.253题型七和辅导班上对应章节
11、的例题(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为_【答案】应填 .【详解】这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间, 记.故 ，其中分别表示A与W 的面积. 几乎原题见经典讲义P378例1.21和辅导班上对应章节的例题三、解答题：(1724小题，共86分.) （17）（本题满分10分） 设函数y = y(x)由方程确定, 试判断曲线y = y(x)在点(1, 1)附近的凹凸性. 【分析】 由凹凸性判别方法和隐函数的求导即得.【详解1】在两边对x求导得 解得 两边对x再求导得 . 将x=1, y =1 代入得 由于二阶导函数在x=1的附近是连
12、续函数, 所以由, 可知在x=1的附近有0, 故曲线y = y(x)在点(1, 1)附近是凸的. 【详解2】 在两边对x求导得 两边对x再求导得 将x=1, y =1 代入得上两式得 , 由于二阶导函数在x=1的附近是连续函数, 所以由, 可知在x=1的附近有0, 由此可知曲线x = x (y)在点(1, 1)附近是凹的, 故曲线y = y(x)在点(1, 1)附近是凸的.完全类似例题见辅导班讲义例7.7及经典讲义P.142例7.14（18）（本题满分11分）设二元函数 计算二重积分，其中【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的部分. 设 ,.
