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1、数学教学案 授课人：邱瑶 时间：8月31日 课题正弦定理、余弦定理及解三角形课型复习课时数3教学目标1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题重点掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题难点能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题教学方法自主合作探究教学媒体PPT环节教 学 过 程学生活动设计意图课堂自主导 学 知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22
2、bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(
3、如图1)(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)在ABC中，AB必有sin Asin B()(2)在ABC中，a，b，B45，则A60或120.()(3)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.()2(2014江西卷)在ABC中，内角A，
4、B，C所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()ABC1D解析由正弦定理知，221，又知3a2b，所以，221，故选D答案D3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D20海里解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案A4(2014福建卷)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB等于_.解析由余弦定理得BC2AC2AB2
5、2ACABcos A，即34AB22AB，即AB22AB10.解得AB1.答案15(人教A必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形梳理知识，加强记忆。知识总结。自我检测。帮助学生构建知识网络。帮助学生总结实际问题中常用角。初步运用知识，总结题型方法。知识运用导练考点一正、余弦定理的简单运用Error! No bookmark name given.【例1】Erro
6、r! No bookmark name given. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a2，b，A45，则c_.(2)若(abc)(abc)ac，则B_.解析(1)法一在ABC中，由正弦定理得sin B，因为ba，所以BA，所以B30，C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.故c3.法二在ABC中，根据余弦定理可得a2b2c22bccos A，即c22c60，所以c3.因为c0，所以c3.(2)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理的推论得cos B，所以B.答案(1)3(2
7、)Error! No bookmark name given.【训练1】Error! No bookmark name given. (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)(2014绍兴模拟)在ABC中，A60，b1，SABC，则_.解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90C180，即ABC为钝角三角形(2)SABCbcsin A，c4，a2b2c22bccos A124224113，a，2R(R是ABC的外接圆的半径)2R.答案(1)A(2
8、)考点二正、余弦定理的综合运用Error! No bookmark name given.【例2】Error! No bookmark name given. (2014山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a3，cos A，BA.(1)求b的值；(2)求ABC的面积解(1)在ABC中，由题意知，sin A，因为BA，所以sin Bsincos A.由正弦定理，得b3.(2)由BA，得cos Bcossin A.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积Sabsin C33.Error! N
9、o bookmark name given.【训练2】Error! No bookmark name given. (2014重庆卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc8.(1)若a2，b，求cos C的值；(2)若sin Acos2sin Bcos22sin C，且ABC的面积Ssin C，求a和b的值解(1)由题意可知c8(ab).由余弦定理得cos C.(2)由sin Acos2sin Bcos22sin C可得：sin Asin B2sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C .因为sin Acos Bcos A
10、sin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C由正弦定理可知ab3c.又因为abc8，故ab6.由于Sabsin Csin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.考点三正、余弦定理在实际问题中的应用Error! No bookmark name given.【例3】Error! No bookmark name given. 如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能
11、最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449)解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10t(海里)，BD10t(海里)在ABC中，AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC(海里)根据正弦定理，可得sinABC.ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD，BCD30，BDC30，BDBC(海里)，则有10t，t0.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船Error! No bookmark name given.【训练3】Error! No bookmark name given. (2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析在RtABC中，CAB45，BC100 m，所以AC100(m)在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得，因此AM100(m)在RtMNA中，AM100 m，MAN60，由sin 60，得MN
