《高中数学 4.1 坐标系 4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控 苏教版选修4-4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 4.1 坐标系 4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控 苏教版选修4-4(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控我夯基,我达标1.设点M的直角坐标为(-1,3),则它的柱坐标是( )A.(2,3) B.(2,3) C.(2,3) D.(2,3)解析:=2,=,z=3,M的柱坐标为(2,3).答案:C2.设点M的直角坐标为(-1,-1,),则它的球坐标为( )A.(2,) B.(2,)C.(2,) D.(2,)解析:由坐标变换公式,得r=2,cos=,=.tan=-=1,=.M的球坐标为(2,).答案:B3.已知点M的球坐标为(4,),则它的直角坐标为_,它的柱坐标是_.解析:由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标.答案:(-2,2,2)(2,2).4.设点M的柱坐标为
2、(2,7),则它的直角坐标为_.解析:=2,=,z=7,x=cos=2cos=,y=sin=2sin=1.点M的直角坐标为(,1,7).答案:(,1,7)5.在球坐标系中,方程r=1表示,方程=表示空间的_.解析:数形结合,根据球坐标的定义判断形状.答案:球心在原点,半径为1的球面顶点在原点,轴截面顶角为,中心轴为z轴的圆锥面6.设地球的半径为R,在球坐标系中,点A的坐标为(R,45,70),点B的坐标为(R,45,160),求A、B两点的球面距离.思路分析:要求A、B两点间球面距离,要把它放到AOB中去分析,只要求得AOB的度数,AB的长度,就可求球面距离.解:如图,由点A、B的球坐标可知,
3、BOO=45,AOO=45,这两个点都在北纬90-45=45圈上.设纬度圈的圆心为O,地球中心为O,则xOQ=70,xOH=160,AOB=160-70=90.OB=R,OB=OA=R.AB=R.则AO=BO=AB=R.AOB=60.=2R=R.即A、B两点间的球面距离为R.我综合,我发展7.已知点P的柱坐标为(,5),点B的球坐标为(,),则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )A.P点(5,1,1),B点(,)B.P点(1,1,5),B点(,)C.P点(,),B点(1,1,5)D.P点(1,1,5),B点(,)解析:此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记
4、住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为柱坐标与直角坐标的互化公式为设P点的直角坐标为(x,y,z),则x=cos=1,y=sin=1,z=5.设B点的直角坐标为(x,y,z),则x=sincos=,y=sinsin=,z=cos=.所以点P的直角坐标为(1,1,5),点B的直角坐标为(,).选B.答案:B8.如图,在柱坐标系中,长方体ABCO-A1B1C1O1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A1(4,0,5),C1(6,5),则此长方体外接球的体积为_.解析:由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长.由长方体的两个顶点坐标A1(4,0,5),C1(
5、6,5),可知OA=4,OC=6,OO1=5.则对角线长为.那么球的体积为()3=.答案:9.用两平行平面去截球,如图,在两个截面圆上有两个点,它们的球坐标分别为A(25,arctan,A)、B(25,-arctan,B),求出这两个截面间的距离.思路分析:根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在RtAOO1和RtBOO2中求出OO1及OO2的长度,从而可得两个截面间的距离O1O2.解:由已知,OA=OB=25,AOO1=arctan,BOO1=-arctan,即在AOO1中,tanAOO1=;在BOO2中,BOO2=arctan,tanBOO2=.OA=25,OO1=7;又OB=25,O
6、O2=20.则O1O2=OO1+OO2=7+20=27,即两个截面间的距离O1O2为27.10.在赤道平面上,我们选取地球球心O为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线OX为极轴,建立坐标系.有A、B两个城市,它们的球坐标分别为A(R,)、B(R,),从A到B,飞机应该走怎样的航线最短,其最短航程为多少?思路分析:我们根据A、B两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A、B两地的大圆时,航线最短,所走的航程实际上是求过A、B两地的球面距离.解:如图所示,因为A(R,),B(R,),可知AOO1=BOO1=.又xOC=,xOD=,COD=-=.AO1B=COD=.在RtOO1B中,O1O
7、B=,OB=R,O1B=R.同理,O1A=R.AO1B=,AB=R.在AOB中,AB=OB=OA=R,AOB=.则经过A,B两地的球面距离为R.即走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其最短航程为R.我创新,我超越11.结晶体的基本单位称为晶胞,图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体),图形中的点代表钠原子,如图(2),建立空间直角坐标系Oxyz后,试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.思路分析:在空间直角坐标系中,我们需要找点的x,y,z;在柱坐标系中,需要找到,z;在球坐标系中,需要找到r,.解:把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下
8、层的原子全部在xOy平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,0),(,),(1,),(,),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(,0),(1,0),(,0);中层的原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别为(,0),(arccos,arctan),(,arccos,arctan2),(,),它们的柱坐标分别为(,0,),(,arctan,),(,arctan2,),(,);上层的钠原子所在的平面平行于xOy平面,与z轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(,0),(,arctan,),(,),(,arctan,),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(,1),(1,1),(,1).6