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1、个人住房抵押贷款 以及其它金融问题,一、目的, 涉及微积分和线性代数, 复习：数列及其极限、线性代数方程组、 矩阵及其运算、方程的求根, 运用 Matlab 进行迭代运算、求根、 矩阵等运算, 介绍差分方程,二、实际问题,1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列:, 中国人民银行多次调整存、贷款利率,贷款期限 0.5年 1年 3年 5年 5年以上 利率(%) 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 现利率(%) 6.58 7.47 7.56 7.74 7.83,(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者),上海商业银行对
2、个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表, 上海个人住房商业性贷款利率再次降低,个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率() 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660 现利率() 6.43 6.43 6.43 6.58 6.58,个人住房商业抵押贷款(万元)还款表 贷款期年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60 月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118 本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,提出问题
3、,个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？,1.贷款利率和住房贷款利率关系,贷款年利率表 贷款期限i(年) 0.5 1 3 5 5 年利率Ri() 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56,个人住房商业抵押贷款年利率表 贷款期限i(年) 1 2 3 4 5 年利率Ri() 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660,关系：线性插值 R1=R0.5， R2=0.5(R0.5+R1)，R3=R1 R4=0.5(R1+R3)，R5=R3,三、数学模型,2.贷款利率和月还款额关系,Ak(r1)Ak-1 m，k =1,2,
4、K,l 贷款年限，K=12l 贷款月限 m 月还款额, n=Km-本息总额 Ak 贷款后第k 个月时欠款余数,A0 初始贷款数 Rl年利率，r=Rl/12 月利率,差分方程,Ak Ak-1 = r Ak-1 m， k = 1,2, K,四、问题求解,令Bk=Ak - Ak-1,AK=0 ,AkA0(1+ r)k - (r+1)k -1m/r， k=1,2,K,Ak-A0=B1+B2+Bk=B1(r+1)k-1/r =(r+1)A0 m - A0(r+1)k - 1/r,Ak+1(r1)Ak m Ak(r1)Ak-1 m,Bk+1=(r+1)Bk 等比数列,m=rA0(r+1)K /(r+1)K
5、 -1 n=Km,A010000,l=2,K24,Rl=0.06255，rR2/12=0.0052125,m= r A0(1+ r)K/(1+ r)K1,= 52.125(1.0052125)24 /(1.0052125 )241,命令：m=52.125*1.005212524/(1.005212524-1) n=24*m, 考虑二年期情况：,使用Matlab,结果: m=444.356 n=10664.54,n= Km,A010000,l=5,K60,Rl=0.0666，rR2/12=0.00555,m= r A0(1+ r)K/(1+ r)K1,= 55.5(1.00555)60 /(1.
6、00555 )601,命令: m=55.5*1.0055560/(1.0055560-1) n=60*m, 考虑五年期情况：,使用Matlab,结果: m = 196.4118 n = 1.1785e+004,n= Km=60m, 还款周期越短越好吗？,如果逐年还款，则K=l, r=Rl,任务1：讨论还款周期问题,年还款额m=Rl A0(Rl+1)l /(Rl+1)l -1 本息总额n=lm,对二年期贷款，A010000, l=2, Rl=0.06255 年还款额m=5473.867元,本息总额n=10947.63元 比逐月还款本息总额n=10664.54元多！,一般呢？,若已知如下贷款年限的
7、住房贷款利率():,1年：6.35 3年：6.43 5年：6.58 5年：6.66,试制作一张为期130年的还款表,任务2:制定住房商业性贷款利率表和还款表,任务3 一个购房贷款的比较,房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元, 22年还清, 不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元.,小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清。,小李考虑，虽然预付费用不少，可减少三年还款期意味着减少还款近32000元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。,试分析情况是否这样？,五、其它金融或经济问题,1.
8、养老保险,某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.,问题：交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生),(注意：显然结果依于投保人寿命),p 停交保险费前所交的月保险费数目(元) N 自投保起至停交保险费的时间长度(月) q 停交保险费起所领月养老金的数目(元) M 自投保起至停领养老金的时间长度(月) (依赖于投保人寿命，取平均寿命75岁） Fk 投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的 累计总额(元),F0 =0，FM =0
9、 r 所交保险金获得的利率,以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为例： p=200，N =420(35年12)，q=2282，M =600(50年12),Fk = F0 (1+r)k +(1+r)k-1 p/r, k = 1, N Fk = FN (1+r)k-N -(1+r)k-N-1 q/r, k =N+1, M,F0 =0 FN= (1+r)N-1 p/r,FM =0 (1+ r )M (1+ q/p ) (1+ r )MN + q/p 0,记 x=1+ r， 得 xM - (1+q/p)xM-N +q/p=0 求方程根 r=x-1,Fk = (r+1)Fk-1 + p, k =
10、1, N Fk = (r+1)Fk-1 - q, k = N+1, M,使用Matlab：,得 x1.00485 , r 0.00485,交保险费所得 月利率为 0.00485 = 0.485% 年利率为 0.0048512 = 0.0582 = 5.82%,以25岁起投保60岁开始领取养老金至75岁为例： x60012.41x18011.410,fzero(inline(x600-12.41*x180+11.41), 1.06) ans: 1.00485,某保险公司的推出结合养老的寿险计划为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁，则在他生存时期，45岁时(投保满5
11、年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。,任务4：一个人寿保险计划的利率分析,问题：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？,每过一周 A 城公司基金10 B 城公司 B 城公司基金12 A 城公司,2. 金融公司的支付基金的流动,(形式推广的 新问题),总额$540万基金,放置A公司和B公司,初始：A公司基金额$260万,B公司基金额$280万,问题：资金流动趋势？ 会否少于警戒数220(万
12、)?,要求：周末结算时总额仍为$540万,ak 第k周末结算时A城公司支付基金数(万美元) bk 第k周末结算时B城公司支付基金数(万美元）,齐次差分方程组,ak+1= 0.9ak + 0.12 bk bk+1= 0.1ak + 0.88 bk,数学模型：,t(1)=0;a(1)=260;b(1)=280; for k=1:23 t(k+1)=k; a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k); end t,a,b,使用Matlab：, 观察数据,通过对数据的观测估计结论(24周数据),k ak bk k ak bk 0 260.00
13、00 280.0000 12 292.7935 247.2065 1 267.6000 272.4000 13 293.1789 246.8211 2 273.5280 266.4720 14 293.4796 246.5204 3 278.1518 261.8482 15 293.7141 246.2859 4 281.7584 258.2416 16 293.8970 246.1030 5 284.5716 255.4284 17 294.0396 245.9604 6 286.7658 253.2342 18 294.1509 245.8491 7 288.4773 251.5227 1
14、9 294.2377 245.7623 8 289.8123 250.1877 20 294.3054 245.6946 9 290.8536 249.1464 21 294.3582 245.6418 10 291.6658 248.3342 22 294.3994 245.6006 11 292.2993 247.7007 23 294.4315 245.5685,A 城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小,B 城公司基金数在逐步减少,但减幅逐步变小,ak有上界？bk有下界? bk会小于220？, 矩阵形式,导出表达式,ak？bk?,ak,bk收敛?,的特征向量,对角化：,是P的特征值，,
15、是对应于,利用Matlab：,a0=260;b0=280; P=0.9,0.12;0.1,0.88; Q,D=eig(P); c=Qa0;b0; if D(1,1)1 a=inf;b=inf; elseif D(1,1)1 a=0;b=0; else a=c(1)*Q(1,1);b=c(1)*Q(2,1); end a,b,结果：294.5455 245.4545,进一步问题,根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金减少$6万.,此时，机构中一位职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5万.,任务5:试问机构负责人是否应该采纳这个建议？为什么？,此任务可作修改，例如周末分别给A、B公司增减资金3，可尝试讨论,
