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1、题型专项训练10数列与不等式(解答题专项)1.已知数列an,bn满足下列条件:a1=1,an+1-2an=2n+1,bn=an+1-an.(1)求bn的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,求证:对任意正整数n,均有Sn0,求数列an的通项公式;(2)是否存在满足题意的无穷数列an,使得a2 016=-2 015?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,请说明理由.4.已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,且a2,a3,a5成等比数列,S6=45.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn;(2)令pn=,是否存在正整数M,使不等式p1+p2+pn-2nM恒成立,若存在,求
2、出M的最小值;若不存在,说明理由.5.已知数列an满足+,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的nN*,都有+4.6.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)已知数列an满足a1=3,an+1=+2an,nN*,设bn=log2(an+1).(1)求an的通项公式;(2)求证:1+n(n2);(3)若=bn,求证:20(nN*),所以对任意正整数n,SnS1=.因为(n2).所以当n2时,Sn=+=.当n=1时,显然有S1.综上,对任意正整数n,均有Sn0,由-得=bn+1-bn-1(n2),b1b3b2n-1,b2b4b2n,得bn1.根据bnbn+1=n+1得bn+1
3、n+1,1bnn.+=+(b3-b1)+(b4-b2)+(bn-bn-2)+(bn+1-bn-1)=+bn+bn+1-b1-b2=bn+bn+1-2.一方面:bn+bn+1-22-2=2(-1);另一方面:由1bnn可知bn+bn+1-2=bn+-2minn.3.解 (1)数列an的各项都不为零且满足2Sn=an(an+1)(nN*),2S1=2a1=a1(a1+1),解得a1=1.2Sn+1=an+1(an+1+1).-得2an+1=+an+1-an,整理得到0=(an+1-an-1)(an+an+1),an+1-an=1.an是以1为首项,以1为公差的等差数列,an=1+(n-1)1=n.
4、(2)由(1)知a1=1,0=(an+1-an-1)(an+an+1),可得an+1=an+1或an+1=-an,从第二项开始每一项都有两个分支,因此通项为an=的数列满足题意,使得a2 016=-2 015.4.解 (1)设等差数列an的公差为d,由已知,得=a2a5,即(a2+d)2=a2(a2+3d),得a2=d.由S6=45,得2a2+3d=15,从而可得a2=d=3,an=3n-3,Sn=.(2)pn=2+,p1+p2+p3+pn-2n=2=2-.由n是整数,可得p1+p2+p3+pn-2n2n-n2-10,所以0.又0,即,所以+.记S=+,由错位相减法,得S=1+,即S=24.所以+0,两边取对数得到log2(an+1+1)=log2(an+1)2=2log2(an+1),即bn+1=2bn,又b1=log2(a1+1)=20,bn是以2为公比的等比数列,即bn=2n,又bn=log2(an+1),an=-1.(2)用数学归纳法证明:当n=2时,左边为1+2=右边,此时不等式成立;假设当n=k2时,不等式成立,即1+k,则当n=k+1时,左边=1+k+k+k+1=右边,当n=k+1时,不等式成立.综上可得:对一切nN*,n2,命题成立.(3)由=bn得cn=n,首先+2,其次,(k2),+,1+1+1-+=3-3,当n=1时显然成立.所以得证.4
