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1、第2章推理与证明本章概览内容提要1.归纳推理和类比推理都是合情推理,归纳是由特殊到一般,由部分到整体的整理;后者是由特殊到特殊的推理.二者都能由已知推测未知,都能用于猜测,得出新规律,但推理的结论都有待于去证明它的正确性.2.演绎推理与合情推理不同,演绎推理是由一般到特殊的推理,是数学证明中的基本推理形,只要前提正确,推理形正确,得到的结论就正确.3.合情推理与演绎推理既有联系,又有区别,它们相辅相成,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.4.数学证明的两类基本方法是直接证明和间接证明.直接证明的两个基本方法:综合法与分析法,间接证明的基本方法:反证法.5.数学归纳法主要应用于解决与正整数有
2、关的数学问题.在证明中,它的两个步骤缺一不可.学法指导1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用,体会推理和证明在数学学习和日常生活中的意义和作用,提高数学素养.2.(1)数学学习的过程,实质上就是对数学材料不断地进行分析和综合的过程,只有加强分析,才能使我们学得深入透彻,不致囫囵吞枣,一知半解;只有注重综合,才能使我们学得完整系统,不致断章取义,以偏概全.(2)能结合已经学过的数学实例,了解分析法、综合法的思考过程和特点.(3)通过内容的学习感受和体验如何学会数学思考方,体会推理和证明在数学学习和日常生活
3、中的意义和作用,提高数学素养.3.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、特点.反证法不是去直接证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾.应用反证法证明数学命题,一般分下面几个步骤:第一步:分清命题“pq”的条件和结论.第二步:作出与命题结论q相矛盾的假定q.第三步:由p 和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果.第四步:断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.4.在学习本章的过程中要准确把握概念,理解合情推理、演绎推理的联系与区别;理解直接证明与间接证明的方法、步骤.要对命题进行观察、比较、类比、归纳,不断提高自己的逻辑思维能力.1
