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1、2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识巧学升华一、对数1.对数 一般地，如果ax=N（a0，a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式ab=N，用a、N表示b的运算叫对数运算，记作b=logaN. 对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念（1）会依据定义把指数式写成对数式. 例如：32=9，2是以3为底9的对数.记作log39=2；41=4
2、，1是以4为底4的对数.记作log44=1；20=1，0是以2为底1的对数.记作log21=0；=，-是以8为底的对数.记作log8=-.（2）logaN=b中规定底数a0且a1. 这是因为若a0，则N为某些值时，b不存在，如log（-2）；若a=0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值.总之，就规定了a0且a1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数. 在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题因为底数a0且a1，由
3、指数函数的性质可知，对任意的bR，ab0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称. 记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a、b求N；根式进行的是开方运算，由N、b求a；对数式进行的是对数运算，由a、N求b.（5）对数恒等式：=N；logaab=b.证明：ab=N，b=logaN.ab= =N，即=N.ab=N，b=logaN.b=logaN=logaab, 即logaab=b. 如=5，=6,log335=5,=等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式. 要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，
4、二要紧扣对数的定义.（6）两个特殊的对数式：logaa=1；loga1=0.证明：a1=a，logaa=1.a0=1，loga1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0.2.常用对数 当底数a=10时，对数logaN叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log10N缩写为lgN，其中lgN默认它的底数为10.（2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，102=100，lg100=2.又10-3=0.001，lg0.001 =-3.一般情况下，可通过计算器或查对数表求值.如lg200 1，lg
5、0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按log键，可直接求出对数值，即lg2 0013.301 2，lg0.032-1.494 9，lg187.52.273 0. 因为对数表只能查得1a10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a10n（1a10，nZ)的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值. 联想发散 要会使用科学记数法记数.当N10时，可把N写成a10n的形式，其中n比N的整数位数少1，如10 001=1.000 1104；当0N1时，可把N写成a10-n，其中n是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.00
6、1 02=1.0210-3.3.自然对数 在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.logeN通常记作lnN.自然对数与常用对数的关系： lnN2.302 6lgN.可直接使用计算器求自然对数值. 它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln键，即可直接求出常用对数值.如ln343.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值.二、对数运算1积、商、幂的对数运算性质（1）logaMN=logaM+logaN， 两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和该法
7、则可以推广到若干个正因数积的对数， 即loga（N1N2Nk）=logaN1+logaN2+logaNk.（2）loga=logaM-logaN. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）logaMn=nlogaM（nR）. 正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数 对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式 误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，
8、但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.2.换底公式（1）换底公式：logab=（a0，a1，c0，c1，b0）.证明：设logab=c，则ac=b.两边取以c为底的对数，得clogca=logcb， 所以c=，即logab=. 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是
9、 若M0，N0，M=N，则logaM=logaN.自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系：lnN=2.302 6lgN.可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.（2）换底公式的三个推论： =logab，=logab，logablogba=1. 推广：logablogbclogcdlogea=1. 问题思路探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服
10、，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子logaMn=nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？思路：logaMn与nlogaM与loganM=logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=l
11、og416=log2216而，2log216=8log2216=2, 但有类似的性质，这个性质是 loganM=logaM. 证明如下：令logaM=x,则M=ax,所以=logaM=x， 而=x，所以=logaM.典题热题新题例1 (2006浙江高考,理)已知0a1，logamlogan0，则（ ）A.1nm B.1mn C.mn1 D.nm1思路解析：0a1,y=logax为减函数，由logamlogan0,可得1nm.答案：A例2 设log189=a，18b=5，求log3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：18b=5，b=log18
12、5.log3645=. 深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简.例3 计算：lg25+lg8+lg5lg20+lg22.思路解析：本题主要考查对数的运算性质.解：原式=lg25+lglg（102）+lg22=lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg22=lg100+lg210-lg22+lg22=2+1=3. 深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用.例4 设3x=4y=36，求的值.思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质
13、.从所求的值来看，解题的关键是设法把x、y表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值.解：3x=4y=36，x=log336，y=log436.则=log363，=log364.+=2log363+log364=log36（324）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a、b、c均为正数，3a=4b=6c，求证：.思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a=4b=6c=k（k0），则a、b、c就可
14、用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a=4b=6c=k，则k0.由对数的定义得a=log3k，b=log4k，c=log6k， 则左边=2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36， 右边=2logk6=logk36，. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边；（3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a、b同号，且a2+2ab-3b2=0，求log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a、b的一个齐次方程，因此不可能求出a、b的值，只能求出a、b的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.解：a、b同号，b0.把方程a2+2ab-3b2=0两边同除以b2，得（）2+2（）-3=0. （+3）（-1）=0，得=1或=-3（舍去）.a=b.log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）=log3（3a2）-log3a2=log33=1. 深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简
