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1、4.1.1利用函数性质判定方程解的存在问题导学一、求函数的零点活动与探究1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：(1)f(x)1log3x；(2)f(x)4x16；(3)f(x).迁移与应用1求下列函数的零点：(1)f(x)x22x3；(2)f(x)2x2.2若函数f(x)a的零点是2，则a的值为_1求函数f(x)的零点，基本方法是解方程f(x)0，方程的根就是零点2解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解二、函数零点个数的判断活动与探究2判断函数f(x)x2的零点的个数迁移与应用1函数f(x)x的零点的个数是()A0B1C2D32求函数f(x)lnx2x6的零点个数判断函
2、数零点的个数常有以下方法：(1)解方程f(x)0，方程根的个数就是函数f(x)的零点的个数；(2)画出函数f(x)的图像，该图像与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数；(3)将方程f(x)0变形为g(x)h(x)，在同一坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图像，两个图像交点的个数就是原函数f(x)零点的个数三、判断方程(函数)在指定区间上是否存在实数解(零点)活动与探究3(1)函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)(2)已知函数f(x)2x3x2.问方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？为什么？迁移与应用1方程log3xx3的
3、解所在的区间为()A(0,2) B(1,2) C(2,3) D(3,4)2试判断方程x32x在区间1,2内是否有实数解判断一个方程f(x)0(函数f(x)在区间a，b上是否存在实数解(零点)，首先看函数f(x)在区间a，b上的图像是否连续，其次再检验是否满足f(a)f(b)0.若满足，那么函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点，且相应的方程f(x)0必有实数解四、函数零点的综合应用活动与探究4当a取何值时，方程ax22x10的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？迁移与应用若函数f(x)x22xa的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是_解决这类问题应注意以下几点
4、：(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题(2)结合草图考虑四个方面：与0的大小；对称轴与所给端点值的关系；端点的函数值与零的关系；开口方向(3)写出由题意得到的不等式(4)由得到的不等式去验证图像是否符合题意当堂检测1函数f(x)的零点是()A1 B1 C1 D02函数f(x)lnx1的零点所在的大致区间为()A(1,2) B(2,3) C(3,4) D(4,5)3函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数是()A至多有一个 B有一个或两个C有且仅有一个 D一个也没有4函数f(x)x2的零点的个数是_5若方程ax2x10在(0,1)内有解，求a
5、的取值范围提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1(1)交点的横坐标(2)f(x)0预习交流1提示：不正确函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，即函数零点的实质是一个实数，而不是几何上的点预习交流2提示：并不是所有的函数都有零点，例如：y和yx23等都没有零点对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，计算b24ac，则当0时，f(x)有2个零点，当0时，f(x)有1个零点，当0时，f(x)无零点2至少有一个零点至少有一个实数解预习交流3(1)提示：函数在(a，b)内有零点，可能只有1个，也可能有多个图和分别是函
6、数f(x)和g(x)的图像由图知，f(x)与g(x)的图像在(a，b)上连续不断，且满足f(a)f(b)0，图中函数f(x)在(a，b)内有2个零点，图中函数g(x)在(a，b)内有3个零点由此可见，满足题设条件的函数的零点不一定只有1个(2)提示：不一定例如：函数f(x)x21在区间(2,2)内有2个零点，但却有f(2)f(2)0.(3)提示：不对例如：函数f(x)在闭区间2,2上的图像不连续，虽有f(2)f(2)0，但f(x)在(2,2)内没有零点课堂合作探究【问题导学】活动与探究1解：(1)令1log3x0，则log3x1，解得x，所以函数的零点为x.(2)令4x160，则4x42，解得
7、x2，所以函数的零点为x2.(3)因为f(x)，令0，解得x6，所以函数的零点为x6.迁移与应用1解：(1)令x22x30，解得x1或x3，即函数的零点是x11，x23.(2)令2x20，解得x1，即函数的零点是x1.2解析：依题意知f(2)0，即a0，所以a.活动与探究2解：(方法一)令f(x)x20，得x2，即x31，解得x1，故函数f(x)x2只有一个零点(方法二)令f(x)x20，得x2，设g(x)x2，h(x)，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图像，由图像可知，两个图像只有一个交点，故函数只有一个零点迁移与应用1C解析：令f(x)0，即x0.解得x2.所以f(x)有2个
8、零点2解法一：在同一平面直角坐标系中作出yln x与y62x的图像，由图知，两个函数图像只有一个交点，故函数f(x)的零点个数为1.解法二：f(2)ln2226ln220，f(3)ln3236ln30，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上有零点又f(x)在(0，)上是增加的，函数f(x)有且只有一个零点活动与探究3思路分析：(1)只需分析函数在哪个区间的两个端点的函数值异号即可；(2)要判断方程f(x)0在区间1,0上有没有实数解，只需看f(1)，f(0)是否异号即可(1)C解析：由于f(2)e2220，f(1)e1120，f(0)e00210，f(1)e12e10，所以f(0)f(1)
9、0，因此零点所在的一个区间是(0,1)选C.(2)解：f(1)30，f(0)10，又函数f(x)2x3x2的图像是连续曲线，f(x)在区间1,0内有零点，即f(x)0在区间1,0内有实数解迁移与应用1C解析：构造函数，转化为求函数的零点所在的区间令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，f(3)log333310，又因为函数f(x)在(0，)上是连续且单调的函数，所以方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)2解：设函数f(x)x32x，f(1)1210，f(2)8440，f(1)f(2)0.又函数f(x)x32x的图像是连续曲线，函数f(x)x32x在区间1,2内至少有
10、一个零点，即方程x32x在区间1,2内至少有一个实数解活动与探究4思路分析：令函数f(x)ax22x1，本题的实质是该函数的一个零点在(0,1)上，另一个在(1,2)上，结合函数的图像列出不等式组，注意对a0，a0，a0作出讨论解：当a0时，方程即为2x10，只有一根，不符合题意当a0时，设f(x)ax22x1，因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，所以即解得a1.当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x20，x1，x2一正一负，不符合题意综上，a的取值范围为a1.迁移与应用a3解析：依题意，由图像可知f(1)0，即1221a0，解得a3.【当堂检测】1B解析：令f(x)0，得0，即x10，所以x1.2B解析：因为在给出的区间中，只有f(2)f(3)0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号3C42解析：令f(x)0，得x2.设g(x)x2，h(x).画出g(x)和h(x)的图像，由图像可知，两个函数图像有2个交点，所以函数f(x)有2个零点5解：ax2x10在(0,1)内有解，即函数f(x)ax2x1在(0,1)内有零点，故f(0)f(1)0，即1(a2)0，解得a2.5
