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1、1 绝密启用前 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共 12 小题，每
2、小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 3 1 i i （） A1 2iB1 2iC2iD2i 2.设集合1,2,4 ， 2 40x xxm 若 1，则 （） A1, 3B1,0C1,3D1,5 3.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的 下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一 平面
3、将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A90B63C42D36 2 5.设x，y满足约束条件 2330 2330 30 xy xy y ，则2zxy的最小值是（） A15B9C1D9 6.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排 方式共有（） A12 种B18 种C24 种D36 种 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位 优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲 对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则（） A乙可以知道四人的成绩B丁可以
4、知道四人的成绩 C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a ，则输出的S （） A2B3C4D5 9.若双曲线C: 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截得的 弦长为 2，则C的离心率为（） A 2B 3C 2 3 D 2 3 3 10.已知直三棱柱 111 CC 中，C120 ，2 ， 1 CCC1，则异面直 线 1 与 1 C所成角的余弦值为（） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 11.若2x 是函数 21 ( )(1) x f xxaxe 的极值点，则( )f x的极小值为（
5、） A.1B. 3 2eC. 3 5e D.1 12.已知ABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点， 则()PAPBPC 的最小 值是（） A.2B. 3 2 C. 4 3 D.1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则D 14.函数 2 3 sin3cos 4 fxxx（0, 2 x ）的最大值是 15.等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 3a ， 4 10S ，则 1 1 n k k S 16.已知F是抛物线C: 2 8yx的
6、焦点，是C上一点，F的延长线交y轴于点 若 为F的中点，则F 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 2 sin()8sin 2 B AC (1)求cosB (2)若6ac,ABC面积为 2,求. b 4 18.（12 分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个 网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直
7、方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立， 记 A 表示事件： 旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新 养殖法的箱产量不低于 50kg,估计 A 的概率； （2）填写下面列联表， 并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量50kg箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01） P（）0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 19.（12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD
8、 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， o 1 ,90 , 2 ABBCADBADABC E 是 PD 的中点. （1）证明：直线/ /CE平面 PAB （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 o 45，求二面角 M-AB-D 的 余弦值 5 20. （12 分） 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM . (1) 求点 P 的轨迹方程； (2) 设点 Q 在直线 x=-3 上， 且1OP PQ .证明： 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦 点 F.
9、21.（12 分） 已知函数 3 ( )ln ,f xaxaxxx且( )0f x . （1）求 a； （2）证明：( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 23 0 ()2ef x . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一 题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的 极坐标方程为cos4 （1） M 为曲线 1 C上的动点， 点 P 在线段 OM 上， 且满足| | 16OMOP,求点 P 的轨迹 2 C 的直角坐标方程； （
10、2）设点 A 的极坐标为(2,) 3 ，点 B 在曲线 2 C上，求OAB面积的最大值 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知 33 0,0,2abab，证明： （1） 33 ()()4ab ab； （2）2ab 6 7 绝密启用前 20172017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案理科数学试题答案 一、选择题一、选择题 1.D2.C3.B4.B5.A6.D 7.D8.B9.A10.C11.A12.B 二、填空题 13. 1.9614. 115. 2n 1n 16. 6 三、解答题 17.解： （1）由题设及 2 sin8sin 2 AB
11、CB 得，故 sin4-cosBB （1） 上式两边平方，整理得 2 17cos B-32cosB+15=0 解得 15 cosB=cosB 17 1（舍去），= （2）由 158 cosBsinB 1717 =得，故 14 a sin 217 ABC ScBac 又 17 =2 2 ABC Sac ，则 由余弦定理及a6c得 222 2 b2cos a2(1 cosB) 1715 362(1) 217 4 acacB ac （ +c） 所以 b=2 18.解： （1）记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低 于50kg” 由题意知 P AP BCP
12、 B P C 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（） 8 故 P B的估计值为 0.62 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 0.0680.0460.0100.0085=0.66（） 故 P C的估计值为 0.66 因此，事件 A 的概率估计值为0.62 0.660.4092 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg箱产量50kg 旧养殖法6238 新养殖法3466 2 2 20062663438 15.705 100 10096 104 K 由于15.7056.635 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有
13、关 （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为 0.0040.0200.04450.340.5， 箱产量低于55kg的直方图面积为 0.0040.0200.044+0.06850.680.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.34 50+2.35 kg 0.068 （）5 19.解： （1）取PA中点F，连结EF，BF 因为E为PD的中点，所以EFAD, 1 2 EFAD=,由90BADABC 得BCAD， 又 1 2 BCAD 所以EFBC 四边形BCEF为平行四边形，CEBF 又BFPAB 平面，CEPAB 平面，故CEPAB平面 （2） 9
14、 由已知得BAAD,以 A 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴正方向，AB 为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 则(000)A， ，(100)B， ，(1 10)C， ，(013)P， ， (103)PC ， ，,(10 0)AB ， ，则 (x 1),(x13)BMyz PMyz ， ， 因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45， 而(0 0)n， ，1是底面 ABCD 的法向量， 所 以 0 cos,sin45BMn ， 222 z 2 2 (x 1)yz 即（x-1）+y-z=0 又 M 在棱 PC 上，设,PMPC 则 x,1,33yz 由，得 xx yy 22 =1+=1- 22 =1(舍去) ， =1 66 zz 22 所以 M 26 1-,1， 22 ，从而 26 1-,1， 22 AM 设 000 ,xyzm =是平面 ABM 的法向量，则 000 0 2- 2260 0 即 0 0 xyz AM AB x m m 所以可取 m=（0，-6，2）.于是
