《高考数学 玩转压轴题 专题1.8 极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 玩转压轴题 专题1.8 极值点偏移第六招--极值点偏移终极套路（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题1.8 极值点偏移第六招-极值点偏移终极套路值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.已知，若有两个极值点，且，求证：（为自然对数的底数）解法一：齐次构造通解偏移套路于是又，设，则因此，要证，即证：， 即：当时，有设函数，则，所以，为上的增函数注意到，因此， 于是，当时，有所以，有成立， 解法二 变换函数能妙解证法2：欲证，需证若有两个极值点，即函数有两个零点又，所以，是方程的两个不同实根显然，否则，函数为单调函数，不符合题意由，解法三
2、构造函数现实力证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，由于，因此，在，设，需证明，只需证明，只需证明，即，即即，故在，故，即令，则，因为，在，所以，即 解法四 巧引变量（一）证法4：设，则由得，设，则，欲证，解法五 巧引变量（二）证法5：设，则由得，设，则，欲证，需证，即只需证明，即，设，故在，因此，命题得证 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.欲证：，结合的单调性，即证：等价于证明：令，构造函数，求导由单调性易得原不等式成立，略.法二：接后续解:由得：构造函数，求导由单调性易得在恒成立，又因为，故成立.法三：接后续解：视为主元，设则在上单调递增，故，再结合，故成立.法四：构造函数，
3、 则，从而在上单调递增，故，即对恒成立，从而，则，由，且在单调递增，故，即，从而成立. 招式演练：已知函数有两个不同的零点 求的最值；证明： 【答案】（1），无最小值 （2）见解析 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.已知函数， 为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中
4、点的横坐标为，证明： （为函数的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析（2），当时， 在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减不妨设，且，要证，需证，即证，又，所以只需证，即证：当时， 设，则，在上单调递减，又，故，原不等式成立已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： .【答案】（1）（2）见解析 当时， ，记，记函数的导函数为，则，故在上单调递增，所以，所以，不妨设，则，而， ，有单调性知，即.已知函数且函数图象上点处的切线斜率为.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的
5、不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在令，构造函数，则，则时，恒成立，故在上单调递增从而得出不存在试题解析：函数的定义域为，且，又，整理得. （1）.1）当时，易知， 时，故在上单调递增，在上单调递减.2）当地，令，解得或，则当，即时， 在上恒成立，则在上递增.当时，在及上单调递增：在上单调递减.当时， 在上递增.当时， 在及上单调递增； 在上递减.点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数
6、的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根.转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点又，即时， ， 时，所以在上单调增，在上单调减，从而.又有且只有一个零点是1，且在时，在时， ，所以由的图象，要想函数与函数的图象在上有两个不同交点，只需，即 （2）由（1）可知分别是方程的两个根，即， ，设，作差得， ，即.原不
7、等式等价于 令，则， 设， ，函数在上单调递增，即不等式成立，故所证不等式成立.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.已知函数，A，B是曲线上两个不同的点.（）求的单调区间，并写出实数的取值范围；（）证明：.【答案】（）的取值范围是；（）见解析. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.在高考创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的突破，更需在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析，利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题，教师才算成功培养学生解题思维，同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要.19
