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1、2011年浙江省高考数学模拟题(一)一、填空题1.已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数,则实数m的值为 。-。2如图墙上挂有边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分 都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是 。1-。3. 甲、乙两个学习小组各有10名同学,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如下图所示,则他们在这次测验中成绩较好的是甲组。甲 乙5 8 53 6 47 94 7 4569 76641 8 029 2 9 4. 设集合A=0,1,2,B=0,1,2,分别从集合A和B中随机
2、取一个数a,和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(0n4, nN),若事件Cn的概率最大,则n的可能值为 。2。5. 在平面直角坐标系中,正方形ABCD的中心坐标为(3,2),其一边AB所在直线的方程为x-y+1=0,则边AB的对边CD所在直线的方程为 。x-y-3=0。6. 某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 cm3。(cm3)。7. 若点P(2,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为 。8已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的b值为16,则循环体的判断框内处应填 。3。9. 函数y=f(x)的图像
3、在点M(1, f(1)处的切线方程是y=3x-2,则f(1)+ f (1)= 。4。10若直线ax+by=1(a,bR)经过点(1,2),则+的最小值是 。3+2。11已知在平面直角坐标系xOy中,O(0,0), A(1,-2), B(1,1), C(2.-1),动点M(x,y) 满足条件,则的最大值为 。4。14.下列命题中,错误命题的序号有 (1)、(2)、(3) 。 (1)“a=-1”是“函数f(x)= x2+|x+a+1| ( xR) 为偶函数”的必要条件; (2)“直线l垂直平面内无数条直线”是“直线l垂直平面”的充分条件; (3)已知a,b,c为非零向量,则“ab= ac”是“b=
4、c”的充要条件; (4)若p: xR,x2+2x+20,则 p:xR,x2+2x+20。二、代数基本题1、已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0)。(1)若x=,求向量a,c的夹角;(2)当x,时,求函数f(x)=2ab+1的最大值。解:(1)当x=时,cos=-cosx=-cos=cos。 0,=。(2) f(x)=2ab+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=sin(2x-)。 x,2x-,2,故sin(2x-)-1, ,当2x-=,即x=时,f(x)max=1。2、已知AB
5、C的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且b2+c2=a2+bc,求:(1) 2sinBcosC-sin(B-C)的值;(2)若a=2,求ABC周长的最大值。解:(1)b2+c2=a2+bc,a2=b2+c2-bc,结合余弦定理知cosA=,A=,2sinBcosC-sin(B-C)= sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=。 (2)由a=2,结合正弦定理,得 b+c=sinB+sinC =sinB+sin(-B) =2sinB+2cosB=4sin(B+),可知周长的最大值为6。3、口袋中装有质地大小完全的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种
6、游戏:甲先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号。如果两个编号的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜。(1)求甲胜且编号的和为6的事件发生的概率;(2)这种游戏规则公平吗?说明理由。解:(1)设“甲胜且两个编号的和为6”为事件A,甲编号x,乙编号y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果包括(1,1),(1,2),(1,5),(2,1),(2,2),(5,4),(5,5)共25个基本事件;A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5个,所以P(A)= 。答:编号之和为6且甲胜的概率为。(2)这种游戏不公平。设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C。甲胜即两
7、编号之和为偶数所包(含基本事件数为以下13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5);所以甲胜的概率为P(B)=。乙胜的概为P(C)=1-=,P(B)P(C),这种游戏规则不公平。三、立体几何题4、如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,PD=PA,E、F分别是AB、PD的中点。 (1)求证:AF平面PCE; (2)求证:平面PCE平面PCD。证明:(1)取PC中点G,连接FG、EG。因为F、G分别为PD、PC的中点,所以FGCD且FG=CD,又AECD且AE=CD,所以,FGA
8、E且FG=AE,四边形AEGF为平行四边形,因此,AFEG,又AF 平面PCE,所以AF平面PCE。(2) 由PA平面ABCD,知PACD,又CDAD,所以CD平面PAD,CDAF。又PAAD,F为PD的中点,则AFPD,因此,AF平面PCD。而AFEG,故EG平面PCD,又EG平面PCE,所以,平面PCE平面PCD。四、解析几何题5、已知椭圆 x2+=1(0b1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F、B、C作P,其中圆心P的坐标为(m,n)。(1)当m+n0时,求椭圆离心率的范围;(2)直线AB与P能否相切?证明你的结论。解:(1)设F、B、C的坐标分别为(-c, 0),(
9、0, b),(1, 0),则FC、BC的中垂线分别为x=,y-=(x-),联立方程组,解出 。 m+n=+0,即 b-bc+b2-c0,即 (1+b)(b-c)0,bc。从而b2c2,即有 a22c2,e2,又e0,0e。(2)直线AB与P不能相切。由 kAB=b,kPB=,如果直线AB与P相切,则 b=-1,又b2+c2=1,解出c=0或2,与0c1矛盾,所以直线AB与P不能相切。五、导数应用题6、水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间(单位:月),以年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为v(t)= 。(1)若该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水
10、期,以i-1ti表示第i月份(i=1,2,12),问一年内那几个月份是枯水期?(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e3=20计算)。解:(1)当0t9时,v(t)=(-t2+15t-51)et+5050,即t2-15t+510,解得 t或 t,从而 0t5.2。当9t12时,v(t)=4(t-9)(3t-41)+5050,即(t-9)(3t-41) 0,解得 9t,所以 9t12。综上,0t5.2或9t12,枯水期为1,2,3,4,5,10,11,12月。(2)由(1)知,水库的最大蓄水量只能在69月份。 v(t)=(-t2+13t-36)et =-et(t-1)(t-9),令v(t)=0,解
11、得t=9或t=4(舍去),又当t(6,9)时,v(t)0;当t(9,10)时,v(t)0。所以,当t=9时,v(t)的最大值v(9)=3e9+50=150(亿立方米),故一年内该水库的最大蓄水量是150亿立方米。7、一变压器的铁芯截面为正十字形,为保证所需的磁通量,要求十字形应具有4m2的面积。问应如何设计十字形的宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省。解:设AB=h,则长y=2h+x。由题意,x2+4xh=4,h=,又 l=2R,欲求l的最小值,只须求出R的最小值, 4R2= x2+(2h+x)2=2(x2+2hx+2h2),设 (x)= x2+2hx+2h2=
12、 x2+2h2+=+x2+(0x2R)。令 (x)= x- =0 x4=16,x=2,这时 h=,y=2h+x=+1。根据问题的实际意义,此最小周长l,最小半径R是存在的,故 x=2cm,y =(+1)cm 即为所求。六、数列综合题8.设数列an满足a1 = 3,an+1 = 2ann2n+13n,n1。(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项之和Sn。解: (1) an = 2an-1(n-1)2n3n-1=22an-2+(n-2)2n-13n-2(n-1)2n3n-1=22an-2(n-2)(n-1)2n(23n-23n-1)=222an-3(n-3)2n-23n-3(n-2)
13、(n-1)2n(23n-23n-1)=23an-3(n-3)(n-2)(n-1)2n(223n-323n-23n-1)=2 n-1a1123(n-1)2n(2n-232n-3323n-1)=2n-132n2n-23=2n-1(n2-n3)2n-13()n-1-1=2n-1(n2-n)3n。(2)设数列bn,其中 bn =2n-1(n2-n),Mn 为其前n项和,则Sn= Mn3n。Mn =0122123223423(n-1)n2n-1,2Mn = 12222323(n-1)n2n,相减得 - Mn = 122222232232(n-1)2n-1- (n-1)n2n=122223324(n-1)2n- (n-1)n2n,-2 Mn = 123224325(n-1)2n+1- (n-1)n2n+1,相减得 Mn = 12223242n- (n-1)2 n+1(n-1)n2n = (2-n)2 n+1(n-1)n2n-4,Sn = Mn3323n= - (n-2)2n+1(n-1)n2n-4。七、函数综合题9、已知函数f(x)=x+,g