《2018年高考数学 考点一遍过 专题39 直线与圆锥曲线的位置关系 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学 考点一遍过 专题39 直线与圆锥曲线的位置关系 文（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点39直线与圆锥曲线的位置关系1理解数形结合的思想.2了解圆锥曲线的简单应用.一、直线与圆锥曲线的位置关系1曲线的交点在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a=0时，方程为一次方程，若b0，方程
2、有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0,c0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.（2）直线与双曲线有两个交点相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点相离.（3）直线与抛物线有两个交点相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴
3、平行或重合.直线与抛物线没有交点相离.二、圆锥曲线中弦的相关问题1弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.2中点弦问题（1）AB为椭圆的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值.（2）AB为双曲线的弦，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以M(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率.
4、考向一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1已知椭圆x2+4y2=4，直线l:yxm(1)若l与椭圆有一个公共点，求m的值；(2)若l与椭圆相交于P,Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值(2)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)，由(1)知：
5、，则|PQ|=2.解得：m=304.典例2已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为，抛物线的方程为.若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立，可得，当时，满足题意，此时直线的方程为；当时，解得，此时直线的方程为.综上，直线的方程为，或，或.1已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.(1)若直线与双曲线没有公共点,求实数k的取值范围;(2)若直线与双曲线有两个公共点,求实数k的取值范
6、围;(3)若直线与双曲线只有一个公共点,求实数k的取值范围.考向二直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3已知抛物线C：y2=2px（p0），焦点为F，直线l交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，D(x0,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0（1）求抛物线C的方程；（2）若x1x2+y1y2=
7、-1，求的最小值（2）设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，x1x2+y1y2=-1，即，y1y2=-2，即y1y2=-2b=-2，b=1，y1+y2=2m，y1y2=-2，|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=21+m2m2+2，令t=m2+1，t1,+)，则，当且仅当时等号成立故的最小值为.典例4已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M,N两点,且|MN|=3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l经过点F且斜率为k,l与椭圆C相交于A,B两点,与以椭圆C的右顶点E
8、为圆心的圆相交于P,Q两点(A,P,B,Q自下至上排列),O为坐标原点，,且|AP|=|BQ|,求直线l和圆E的方程. (2)由题意,直线l的斜率k存在.设l的方程为y=k(x-1),联立椭圆方程得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.OAOB=x1x2+y1y2=.OAOB=-95,解得k2=3.由题意可得,|AP|=|BQ|等价于|AB|=|PQ|.设圆E的半径为r,.将k2=3代入|AB|=|PQ|，解得.故所求直线l的方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0与3x+y-3=0;圆E的方程为.2已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的
9、焦点,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,且满足e1e2=1.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l恒过点(0,1),且直线l与椭圆交于A、B两点,求|AB|的最大值,并求此时直线l的方程.考向三圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5
10、在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标由得，同理得当或时，直线的方程为；当且时，直线的斜率为，直线的方程为，即，直线过定点，其坐标为综上所述，直线过定点，其坐标为典例6已知椭圆E: 与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+23与椭圆E交于不同的两点A,B.(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求的面积的最大值
11、.【解析】(1)因为是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b=3c,a=2,所以a=2,b=3,所以椭圆E:x24+y23=1,点M(0,3).将直线l:y=kx+23代入椭圆E的方程,整理得(3+4k2)x2+163kx+36=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得=(163k)2-4(3+4k2)36=48(4k2-9)0,所以k(-,-32)(32,+),x1+x2=,x1x2=.则直线MA,MB的斜率之积为kMAkMB=k2+9-36k236=14,所以直线MA,MB的斜率之积是定值.当且仅当4k2-9=12,即k=(-,-32)(32,+)时等号成立,所以的
12、面积的最大值为. 3已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.4已知椭圆C:的左顶点A和上顶点B(0,1)的连线的斜率为12,左、右焦点分别为F1、F2,过点A的直线l与椭圆C交于点M,与y轴交于点N,点P在椭圆上,且AM=OP,AN=OP(O为坐标原点).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若AN=52AM,求的面积;(3)证明:是定值,并求出该定值.1若直线mx+ny=4和O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29
13、+y24=1的交点有A至多1个B2个C1个D0个2已知直线y=kx-k(k为实数)及抛物线y2=2px(p0),则A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点3若直线与椭圆有两个公共点,则实数k的取值范围是Ak或kDk0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,若AF=3FB,则k=_.12已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是（1）求双曲线的方程；（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值13如图,F1,F2分别为椭圆C:的左、右焦点,A,B为两个顶点.已知顶点B(0,3)到F1,F2两点的距离之和为4.(1)求椭圆
