《高中数学 5.6 运用数学归纳法证明不等式自我小测 苏教版选修4-5》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 5.6 运用数学归纳法证明不等式自我小测 苏教版选修4-5(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、5.6 运用数学归纳法证明不等式自我小测1设f(n)1(nN),则f(n1)f(n)等于_2观察下式:112;23432;3456752;4567891072,则得出结论:_.3用数学归纳法证明时:设f(k)1427k(3k1)k(k1)2,则f(k1)_.4(2010淮南高考调研,理13)若f(n)122232(2n)2,则f(k1)与f(k)的递推关系式是_5求证:(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN)6用数学归纳法证明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)7设f(n)(nN),那么f(n1)f(n)等于_8已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1)
2、,(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第60个数对是_9求证:n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)n(n3)(nN,n4)10已知数列an满足条件(n1)an1(n1)(an1),且a26(nN)(1)求a1、a3、a4的值;(2)求数列an的通项公式11已知点的序列An(xn,0),nN,其中x10,x2a(a0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An2An1的中点,.(1)写出xn与xn1、xn2之间的关系式(n3);(2)设anxn1xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项
3、公式,并加以证明参考答案1解析:因为f(n)1,所以f(n1)1.所以f(n1)f(n).2n(n1)(n2)(3n2)(2n1)231427(k1)(3k4)(k1)(k2)24f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析:f(k)122232(2k)2.而f(k1)122232(2k)2(2k1)2(2k2)2.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.5证明:(1)当n1时,左边2,右边212,所以等式成立(2)假设nk(kN,k1)时等式成立,即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么当nk1时,(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(2k1)2
4、k1135(2k1)2(k1)1,即nk1时等式成立由(1)、(2)可知,对任何nN等式均成立6证明:(1)当n1时左边12223,右边1(211)3,等式成立(2)假设当nk(kN,k1)时,等式成立,即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1),则当nk1时,12223242(2k1)2(2k)2(2k1)22(k1)2k(2k1)(2k1)22(k1)22k25k3(k1)(2k3)(k1)2(k1)1,即当nk1时,等式成立由(1)、(2)可知,对任何nN,等式成立解析:当nk1时,左边的项应该增加两项(2k1)2(2k2)2.78(5,7)解析:设每个数对内的两数之和为k,则
5、组成数对的个数为akk1,k2,3,.则由不等式Sk60,得k(k1)120,则k的最大值为11,且S1155,则第56个数对之和为12,即(1,11),后面的依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),所以第60个数对为(5,7)9证明:(1)当n4时,四棱柱有2个对角面,4(43)2,命题成立(2)假设当nk(kN,k4)时命题成立,即符合条件的棱柱的对角面有f(k)k(k3)个,现在考虑nk1的情形,第k1条棱Ak1Bk1与其余和它不相邻的k2条棱分别增加了1个对角面,共(k2)个,而面A1B1BkAk变成了对角面,因此对角面的个数变为f(k)(k2)1k(k3)k1(k23
6、k2k2)(k2)(k1)(k1)(k1)3,即f(k1)(k1)(k1)3即当nk1时,等式成立由(1)、(2)可知,命题对n4,nN都成立解析:利用“递推”法,f(k1)f(k)来寻找nk1比nk时增加的对角面的个数10解:(1)(n1)an1(n1)(an1)(nN),且a26,当n1时,a11;当n2时,a33(a21)15;当n3时,2a44(a31)56,a428.(2)由a2a15,a3a29,a4a313.猜想an1an4n1,ana1(anan1)(an1an2)(a2a1)an2n2n(nN)下面用数学归纳法证明:当n1时,a121211,故猜想正确假设当nk时,有ak2k2k(kN,且k1)(k1)ak1(k1)(ak1),(k1)ak1(k1)(2k2k1)ak1(k1)(2k1)2(k1)2(k1)即当nk1时,命题也成立由知,an2n2n(nN)11解:(1)当n3时,xn.(2)a1x2x1a,a2x3x2x2(x2x1)a,a3x4x3x3(x3x2)a.由此推测ann1a(nN)用数学归纳法证明:当n1时,a1x2x1a0a,通项公式成立假设当nk时,ak()k1a成立那么当nk1时,ak1xk2xk1xk1(xk1xk)akk1a(k1)1a,通项公式成立由知,ann1a(nN)4