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1、1.1.2 集合间的基本关系疱丁巧解牛知识巧学升华一、子集1.子集的定义 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关. 记作：AB（或BA），读作“A包含于B”（或B包含A）. 辨析比较 注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“”用在集合与集合之间.2.子集的图形表示 在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用下图表示.
2、对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC. 任何一个集合A都是它自身的子集，即AA.若AB，则可用Venn图表示它们之间的关系. 即表示集合A、B的区域完全重合，或区域A在区域B的内部. 要点提示 注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若ab，bc，则ac.（2）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等. 资料剖析 注意此处空半格(教材P8)思考研析aA表示的是集合与集合之间的关系，即集合a是集合A的子集，而aA表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合A的元素，如11,2
3、，3,而11,2，3.3.子集的语言表示 集合A中的任何一个元素x，都满足xB，即任意xA，都有xB.或 ABxA,xB. 例如：已知集合A=1，2，集合B=1，2，3，因为A中所有的元素1B，2B，所以AB. 对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若xA，则xB即可.特别地，当给定集合A、B的代表元素都是函数值时，要证明“AB”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合A=y|y=x2+1，xR，集合B=m|m=n2，nR，则集合A与B存在怎样的包含关系呢？显然集合A、B的代表元素都是实数，结合二次函
4、数的性质化简它们得A=y|y1，B=m|m0，因为A中的所有元素都属于B，所以AB. 那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合A中存在元素不是集合B的元素，我们就说集合A不是集合B的子集，记作“AB”或“BA”，读作“A不包含于B”或“B不包含A”.例如：已知集合A=1，2，集合B=1，3，试判断A、B的包含关系.因为2A，且2B，所以AB；又因为3B，且3A，所以BA.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集N*、N、Z、Q、R之间的包含关系吗？ 方法点拨 注意此处空半格（1）判断A、B之间的包含关系，通常将集合A、B化成最
5、简形式.（2）若证明AB，只需在A中找一个元素a，使得aB即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可.二、集合相等1.集合相等的定义 如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B. 集合“A=B”可用韦恩图表示为 即表示集合A、B的区域完全重合. 要点提示 注意此处空半格集合“A=B”是指集合A、B中的元素完全相同，与A、B中元素的排列顺序无关.2.集合相等的证明 所谓“A=B”就是集合A、B中的元素完全一致.例如：试比较集合A=xx2-1=0与集合B=-1，1的关系.化简集合A=-1，1，
6、与集合B的元素完全一致，所以A=B；当集合A、B中的元素较多或无限多时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明AB，且BA即可. 辨析比较 注意此处空半格集合“A=B”可与实数中的结论“若ab，且ba，则a=b”相类比，即“若AB，且BA，则A=B”.三、真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”. 若AB，可用韦恩图表示为 即把表示A的区域画在表示B的区域内，但区域A不能与B重合. 对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC.例如：11，2，1，21，2，3，所以11，2，3.证
7、明AB，应先证明AB，再证明B中至少有一个元素a，使得aA即可. 要点提示 注意此处空半格（1）真子集是以子集为前提，研究集合间的关系.若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.（2）由子集、集合相等及真子集的定义可知，子集包括集合相等与真子集两种情况.（3）“AB”或“AB”都具有传递性.（4）任何集合都不是自身的真子集.四、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.例如：x2+1=0的实数根，|x|-1的解组成的集合，都因找不到它们的元素，所以它们的解集都是空集，规定空集是任何集合的子集，即A.有的同学说，可以把子集定义为：子集是由原来集合中的部分元素组成的集合，你认为这种说法妥当吗？
8、答案是否定的.因为空集是不含任何元素的集合，它不可能是由某一集合的部分元素组成的，集合本身也无法理解为它是由它的部分元素组成的，AA.由以上子集的定义及详解，你能写出集合A=1，2的所有子集吗？答案显然是、1、2、1，2. 虽然空集是任何集合的子集，但是不是任何集合的真子集？你能结合实例与定义，说明以上两个问题吗？根据真子集的定义及详解，你能写出集合A=1，2的真子集吗？显然答案是、1、2. 要点提示 注意此处空半格（1）空集也是空集的子集，即.空集是任何非空集合的真子集.（2）一个集合的子集，除了空集外，其他子集可看作是由原集合的部分或全部元素组成的集合. 资料剖析 注意此处空半格(教材P8
9、)例3 注意：在写出某个集合的子集时，可以按照集合元素的多少逐一写出，但一定要考虑空集这一特殊的集合，因为空集是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合本身也计算在内，因为任何一个集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.问题思路探究问题1 0与、 与有何区别？思路：从的定义、集合与元素的概念以及二者之间的关系考虑.探究：0是由一个元素0组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此，0，而不能写成=0或0；同样道理，是由一个元素组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此有：或 或.问题2 集合中元素的个数与该集合的子集、真子集的个数之间有何关系？思路：可通过举例，从而归纳出一般规
10、律.探究：如写出a,b、a,b,c的所有子集，a,b的所有子集为：，a,b,a,b，所以子集有4个，真子集3个；a,b,c的所有子集为：,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c，子集共8个，真子集共7个. 因此，一个集合的子集个数与集合中的元素个数有关，若一个集合含有n个元素，则它有 2n个子集， 2n-1个真子集， 22-2个非空真子集.典题热题新题例1 M=x|3x4=,a=，则下列关系正确的是（ ）A. aM B. aM C. aM D.aM思路解析：元素与集合之间的关系是与的关系，所以A不正确；又34,所以aM，故B不正确；集合与集合的关系是、的关系，而不能用与表示，因此C不正
11、确；aM显然成立.答案：D例2 判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系.（1）A=x|x=2k-1.kZ,B=x|x=2m+1,mZ；（2）A=x|x=2m.mZ,B=x|x=4n,nZ.思路解析：判断两个集合的包含或相等关系，主要观察两个集合间元素的关系.解：（1）因为A=x|x=2k-1,kZ，B=x|x=2m+1,mZ,故A、B都是由奇数构成的，即A=B.（2）因 A=x|x=2m,mZ，B=x|x=4n,nZ，又x=4n=22n，即若有xB,则xA,所以BA.例3 已知M=2，a，b，N=2a，2，b2，且M=N，求a，b的值.思路解析：由M=N可知，两个集合中的元素应该完全相同，由
12、此，可用集合中元素的性质解题.解法一：根据集合中元素的互异性，有或 解方程组得或或再根据集合中元素的互异性，得或解法二：M=N，M、N中元素分别对应相同.即集合中元素互异，a、b不能同时为0.b0.由得a=0或b=. 当a=0时，由知b=1或b=0（舍去）；当b=时，由得a=.或 深化升华 注意此处空半格两个集合相等，是指两个集合的元素完全相同.元素个数较少时，可直接分析对应元素相等，以此为依据列方程或方程组求解，但求解后一定要根据集合中元素的互异性这一性质进行检验.例4 在下列各式中：10，1，2；10，1，2；0，1，20，1，2；0，1，2；0，1，2=2，0，1.其中错误命题的个数为（
13、 ）A.1 B.2 C.3 D.4思路解析：元素与集合之间是从属关系，而集合与集合之间是“包含”或“相等”关系；空集是任何非空集合的真子集；两个集合如果元素完全相同，则这两个集合相等.所以正确，错误，正确，正确，正确.答案：A例5 已知集合A=1，2，B=1，2，3，4，5，且AMB，写出满足上述条件的集合M.思路解析：关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的.AM，M中一定含有A的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A的元素.又MB，M中的元素除了含有B的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M的问题转化为研究集合3，4，5的非空子集的问题，显然所求集合M有2
14、3-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.答案：满足条件的集合M是1，2，3、1，2，4、1，2，5、1，2，3，4、1，2，3，5、1，2，4，5、1，2，3，4，5 . 深化升华 注意此处空半格集合是由元素构成的，要确定一个集合，一是把集合中的元素一一找出来，用列举法去表示；二是明确集合中元素的范围及其满足的性质，用描述法表示.例6 集合A=x|-2x5，B=x|m+1x2m-1（1）若BA，求实数m的取值范围.（2）若xZ时，求A的非空真子集的个数.（3）当xR时，没有元素使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围.思路解析：BA，即B是A的子集，包括B可能是空集，解决有关集合之间的关系，空集这一重要的集合不能忘.解：（1）当 m+12m-1即m2时，B=满足BA. 当m+12m-1即m2时，要使BA成立， 需 可得 2m3. 综上可得 m3时，有BA.（2）当xZ时，A=-2,-1,0,1,2
