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1、对数函数复习一、基础知识1.对数概念 对数的概念:如果,那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数2.对数的运算法则如果有3.对数换底公式: 4.两个常用的推论:, 4.对数函数的性质:一般地,我们把函数叫做对数函数。a10a1图象性质定义域:(0,+)值域:R过点(1,0),即当时,时 时 时 时在(0,+)上是增函数在(0,+)上是减函数5.同底的指数函数与对数函数互为反函数6.指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (定义法)(转化法) (取对数法) (换底法) 对数函数专项训练一、选择题1已知 在 上是 的减函数,则 的取值范围是( )A(0,1) B(1,2) C(0
2、,2) D 2当 时,函数 和 的图象只可能是( )3如果 ,那么 、 之间的关系是( )A B C D 4如图,曲线是对数函数 的图象,已知 的取值 ,则相应于曲线 的 值依次为( )A B C D 5若 ,且 ,则 满足的关系式是 ( )A B 且 C 且 D 且 6若 是偶函数,则 的图象是 ( )A关于 轴对称 B关于 轴对称 C关于原点对称 D关于直线 对称7方程 实数解所在的区间是 ( )A B C D 8已知函数 的图象过点(4,0),而且其反函数 的图象过点(1,7),则 是()A增函数 B减函数 C奇函数 D偶函数9将函数 的图象向左平移一个单位,得到图象 ,再将 向上平移一
3、个单位得到图象 ,作出 关于直线 的对称图象 ,则 的解析式为()A B C D 10已知偶函数 在 上单调递增,那么 与 的关系是()A B C D不确定11若函数 的值域是 ,则这个函数的定义域()A B C D 12 有解,则 的取值范围是()A 或 B C 或 D 二、填空题1设 且 ,则函数 和 的图象关于_对称;函数 与 的图象关于_对称;函数 和 的图象关于_对称2函数 的定义域为 ,则函数 的定义域是_3已知 ,则 , , 由小到大的排列顺序是_4若 ,则 的取值范围是_5已知集合 ,定义在集合 上的函数 的最大值比最小值大1,则底数 的值为_6函数 ( )的最大值为_7函数
4、在区间 上的最大值比最小值大2,则实数 =_8已知奇函数 满足 ,当 时,函数 ,则 =_9已知函数 ,则 与 的大小关系是_10函数 的值域为_三、解答题1已知 ,且 , , ,试比较 与 的大小2若 ( , ),求 为负值时, 的取值范围3已知函数 ,证明:(1) 的图象关于原点对称;(2) 在定义域上是减函数4已知常数 ( )及变数 , 之间存在着关系式 (1)若 ( ),用 , 表示 (2)若 在范围 内变化时, 有最小值8,则这时 的值是多少? 的值是多少?5若关于 的方程 的所有解都大于1,求 的取值范围6设对所有实数 ,不等式 恒成立,求 的取值范围7比较大小: 与 ( )8求函
5、数 的单调区间9若 , 是两个不相等的正数, 是正的变量,又已知 的最小值是 ,求 的值10设函数 且 (1)求 的解析式,定义域;(2)讨论 的单调性,并求 的值域11一种放射性物质不断变化为其它物质,每经过一年剩留的质量约为原来的84%,现在这种物质1克,试写出其剩留质量随时间变化的函数关系式,如果 , ,你能算出大约经过多少年,剩留的质量是原质量的一半吗?12某工厂1994年生产某种产品2万件,计划从1995年开始,每年的产量比上年增长20%,问从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件?13已知 且 ,试求方程 有解时 的取值范围14函数 ( )图象的对称轴方程为 ,求 的值
6、参考答案:一、1B 2B 3B 4A 5C 6C 7A 8A 9A 10C 11D 12C二、1 轴; 轴;直线 2 3 4 5 为 或 6 7 或 8 9 10 三、1解: ,则有:(1)当 或 时,得 或 ,都有 , ;(2)当 时, , , ;(3) 时, , , 综上可得:当 或 时, ;当 时, ;当 时, 说明:在分类时,要做到不重不漏,关键在于找准分类标准,就此题而言,分类标准为: 的底 且 ,又由于将 与0比较,则还有一个特殊值为 ,故应分为以下四种情况讨论:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 2解:由已知得 ,即 ,两边同除 得 ,解得 ,或 (舍),对 两边取对数得:当
7、时, ;当 时, 当 时, 说明:本题分类的标准是 , , ,它是由指数函数的单调性决定的3解:(1)证明: 的图象关于原点对称,等价于证明 是奇函数,又 的定义域为 是奇函数,它的图象关于原点对称(2)设 ,则 ,又 ,故 在 上是减函数,又由(1)知 是奇函数,于是 在其定义域 上为减函数4解:(1)由换底公式可将原方程化为 ,若 ,则 ,故有 ,整理有 , ( )(2)由 ( ), , 时, 有最小值为 ,由已知 , ,此时 5解:由原方程可化为 ,变形整理有 (*) , ,由于方程(*)的根为正根,则 解之得 ,从而 说明:方程(*)不是关于 的方程,而是关于 的一元二次方程,故求出
8、的范围,另外,解得 ,其中 是真数,不要忽略 6解: 对任意 ,函数值恒为正,则 设 ,则不等式组化为 ,解之得 ,即 , 说明:对所有实数 ,不等式恒成立的充要条件是二次项系数大于0且判别式 7解: 是增函数, 当 时, ,则 当 时, ,则 当 时, ,则 8解:设 , ,由 得 ,知定义域为 又 ,则当 时, 是减函数;当 时, 是增函数,而 在 上是减函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 9解: 当 时, 有最小值为 由已知, , 或 10(1) ; (2)在 上单调递增,在 上单调递减, 11解:设经过 年剩留的质量为 克,则 ( )即为所求函数关系式当 时, ,则 大约经过4年,剩
9、留的质量为原来质量的一半12解:由题目条件可得 , ,两边取以1.2为底的对数可得 , ,这家工厂从2004年开始,年产量超过12万件13解:由对数函数的性质, 应满足 ,当(1)(3)成立时,(2)显然成立,故只需解 ,由(1)得 (4)当 ,由 知(4)无解,故原方程无解;当 时,(4)的解是 (5)将(5)代入(3)得 ,即 14解:解法一:由于函数图象关于 对称,则 ,即 ,解得 , 或 又 , 解法二: 函数 的图象关于直线 对称,则函数 的图象关于 轴对称,则它为偶函数,即 ,观察,旨在自然条件下,人们为一定目的而对事物所进行的有计划的知觉过程。观察法就是以感官活动为先决条件,与积极的思维相结合,系统地运用感官对客观事物进行感知、考察和描述的一种研究方法。9