《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)基础初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分,完成下列问题.1.文字语言:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.2.符号语言:l,mlm.3.图形语言:如图1618所示.图16184.作用:证明两直线平行.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相
2、交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面,由线面垂直的性质知B正确.【答案】B教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分,完成下列问题.1.文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.符号语言:,m,l,lml.3.图形语言:如图1619所示.图16194.作用:证明直线与平面垂直.若平面平面,且平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直【解析】,a,b,ab,当a时,b;当b时,a,其他情
3、形则未必有b或a,所以选项A,B,D都错误,故选C.【答案】C小组合作型线面垂直的性质如图1620,正方体ABCDA1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.图1620【精彩点拨】连接AB1与CB1,证明EF,BD1都与平面AB1C垂直.【自主解答】连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,BDDD1D,AC平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,又ACB1CC,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,ACB1CC,EF平面AB1C,EFBD1.证明线线平行
4、常有如下方法:(1)利用线线平行的定义:证共面且无公共点;(2)利用平行公理:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面面平行.再练一题1.如图1621,已知平面平面l,EA,垂足为A,EB,垂足为B,直线a,aAB.求证:al.图1621【证明】因为EA,l,即l,所以lEA.同理lEB.又EAEBE,所以l平面EAB.因为EB,a,所以EBa,又aAB,EBABB,所以a平面EAB,因此,al.面面垂直性质的应用如图1622,A,B,
5、C,D为空间四点,在ABC中,AB2,ACBC.等边三角形ADB以AB为轴转动.图1622(1)当平面ADB平面ABC时,求CD;(2)当ADB转动时,是否总有ABCD?证明你的结论. 【导学号:39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形,使所求线段为其一边,通过解三角形求解.(2)分D是否在平面ABC内进行讨论.【自主解答】(1)如图,取AB的中点E,连接DE,CE.因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABCAB,所以DE平面ABC,可知DECE.由已知可得DE,EC1.在RtDEC中,CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时,
6、总有ABCD.证明:当D在平面ABC内时,因为ACBC,ADBD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即ABCD.当D不在平面ABC内时,由(1)知ABDE.又ACBC,所以ABCE.又DECEE,所以AB平面CDE.又CD平面CDE,所以ABCD.综上所述,总有ABCD.1.面面垂直的性质定理,为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候,经常找交线的垂线,这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法,一种是利用线面垂直的判定定理,另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意:(1)两个平面垂直;(2)直线在一个平面内;(3)直线垂直于交线.以上三
7、点缺一不可.再练一题2.如图1623,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB底面ABCD,又VB平面VAD.图1623求证:平面VBC平面VAC.【证明】平面VAB平面ABCD,且BCAB,平面VAB平面ABCDAB,BC平面ABCD,BC平面VAB,VA平面VAB,BCVA,又VB平面VAD,VBVA,又VBBCB,VA平面VBC,VA平面VAC,平面VBC平面VAC.探究共研型垂直关系的综合应用探究1如图1624,四边形ABCD是正方形,SA平面ABCD,BKSC于点K,连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直,并说明理由.图1624【提示】垂直.连接AC.四边形ABCD是正方形,A
8、CBD.又SA平面ABCD,SABD,BD平面SAC,SCBD.又SCBK,BKBDB,SC平面KBD.又SC平面SBC,平面SBC平面KBD.探究2在上述问题中,判断平面SBC与平面SDC是否垂直,并说明理由.【提示】不垂直.假设平面SBC平面SDC.BKSC,BK平面SDC.DC平面SDC,BKDC,又ABCD,BKAB.ABCD是正方形,ABBC,AB平面SBC,又SB平面SBC,ABSB,这与SBA是RtSAB的一个锐角矛盾,故假设不成立.原结论成立,即平面SBC不垂直于平面SDC. 如图1625所示 ,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角
9、形,其所在平面垂直于底面ABCD.图1625(1)求证:ADPB;(2)若E为BC边的中点,能否在PC棱上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.【精彩点拨】解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系,联系所学的判定定理与性质定理,得出结论.【自主解答】(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG,PAD为正三角形,PGAD.在菱形ABCD中,DAB60,G为AD的中点,BGAD.又BGPGG,AD平面PGB.PB平面PGB,ADPB.(2)当F为PC的中点时,满足平面DEF平面ABCD.证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF,在PBC中,FEPB.在菱形ABC
10、D中,GBDE,而FE平面DEF,DE平面DEF,EFDEE,平面DEF平面PGB.由(1)得PG平面ABCD,而PG平面PGB,平面PGB平面ABCD,平面DEF平面ABCD.立体几何中的垂直关系有三类:线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时,要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下:再练一题3.如图1626,在三棱锥PABC中,E,F分别为AC,BC的中点.图1626(1)求证:EF平面PAB;(2)若平面PAC平面ABC,且PAPC,ABC90,求证:平面PEF平面PBC.【证明】(1)E,F分别为AC,BC的中点,EFAB.又EF平
11、面PAB,AB平面PAB,EF平面PAB.(2)PAPC,E为AC的中点,PEAC.又平面PAC平面ABC,PE平面ABC,PEBC.又F为BC的中点,EFAB.ABC90,BCEF.EFPEE,BC平面PEF.又BC平面PBC,平面PBC平面PEF.1.已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面与直线m垂直,则直线n与平面的关系是()A.nB.n或nC.n或n与不平行D.n【解析】l,且l与n异面,n.又m,nm,n.【答案】A2.已知平面平面,l,点Pl,给出下面四个结论:过P与l垂直的直线在内;过P与垂直的直线在内;过P与l垂直的直线必与垂直;过P与垂直的平面必与l垂直.其中正确
12、的命题是()A. B. C. D.【解析】因为,l,Pl,所以过点P作的垂直直线必在平面内且和l垂直,的情况则可能成立,也可能不成立.【答案】A3.已知a,b为直线,为平面.在下列四个结论中,正确的是_.若a,b,则ab;若a,b,则ab;若a,a,则;若b,b,则.【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知正确;由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知错;由“垂直于同一直线的两平面平行”知正确;错.【答案】4.如图1627,在三棱锥PABC内,侧面PAC底面ABC,且PAC90,PA1,AB2,则PB_.图1627【解析】侧面PAC底面ABC,交线为AC,PAC90(即PAAC),PA平面ABC,PAAB,PB.【答案】5.如图1628,ABC为正三角形,EC平面ABC,DB平面ABC,CECA2BD,M是EA的中点,N是EC中点,求证:平面DMN平面ABC.【导学号:39292041】图1628【证明】M,N分别是EA与EC的中点,MNAC,AC平面ABC,MN平面ABC,MN平面ABC,DB平面ABC,EC平面ABC,BDEC,四边形BDEC为直角梯形,N为EC中点,EC2BD,NCBD,四边形BCND为矩形,DNBC,又DN平面ABC,BC平面ABC,DN平面ABC,又MNDNN,且MN、DN平面DMN,平面DMN平面ABC.9