《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.6 垂直关系 1.6.2 垂直关系的性质学案 北师大版必修2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)基础初探教材整理1直线与平面垂直的性质定理阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.2.符号语言：l，mlm.3.图形语言：如图1618所示.图16184.作用：证明两直线平行.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A.相
2、交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.【答案】B教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.符号语言：，m，l，lml.3.图形语言：如图1619所示.图16194.作用：证明直线与平面垂直.若平面平面，且平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直【解析】，a，b，ab，当a时，b；当b时，a，其他情
3、形则未必有b或a，所以选项A，B，D都错误，故选C.【答案】C小组合作型线面垂直的性质如图1620，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EFBD1.图1620【精彩点拨】连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.【自主解答】连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，BDDD1D，AC平面BDD1B1，ACBD1.同理BD1B1C，又ACB1CC，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.证明线线平行
4、常有如下方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.再练一题1.如图1621，已知平面平面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB.求证：al.图1621【证明】因为EA，l，即l，所以lEA.同理lEB.又EAEBE，所以l平面EAB.因为EB，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB，因此，al.面面垂直性质的应用如图1622，A，B，
5、C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC.等边三角形ADB以AB为轴转动.图1622(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论. 【导学号：39292040】【精彩点拨】(1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，通过解三角形求解.(2)分D是否在平面ABC内进行讨论.【自主解答】(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC，可知DECE.由已知可得DE，EC1.在RtDEC中，CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时，
6、总有ABCD.证明：当D在平面ABC内时，因为ACBC，ADBD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又ACBC，所以ABCE.又DECEE，所以AB平面CDE.又CD平面CDE，所以ABCD.综上所述，总有ABCD.1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三
7、点缺一不可.再练一题2.如图1623，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD.图1623求证：平面VBC平面VAC.【证明】平面VAB平面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，BC平面VAB，VA平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC，平面VBC平面VAC.探究共研型垂直关系的综合应用探究1如图1624，四边形ABCD是正方形，SA平面ABCD，BKSC于点K，连接DK.判断平面SBC与平面KBD是否垂直，并说明理由.图1624【提示】垂直.连接AC.四边形ABCD是正方形，A
8、CBD.又SA平面ABCD，SABD，BD平面SAC，SCBD.又SCBK，BKBDB，SC平面KBD.又SC平面SBC，平面SBC平面KBD.探究2在上述问题中，判断平面SBC与平面SDC是否垂直，并说明理由.【提示】不垂直.假设平面SBC平面SDC.BKSC，BK平面SDC.DC平面SDC，BKDC，又ABCD，BKAB.ABCD是正方形，ABBC，AB平面SBC，又SB平面SBC，ABSB，这与SBA是RtSAB的一个锐角矛盾，故假设不成立.原结论成立，即平面SBC不垂直于平面SDC. 如图1625所示 ，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角
9、形，其所在平面垂直于底面ABCD.图1625(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.【精彩点拨】解答本题要首先从菱形、正三角形中找到其中所蕴含的垂直关系，联系所学的判定定理与性质定理，得出结论.【自主解答】(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，PAD为正三角形，PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，BGAD.又BGPGG，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在PBC中，FEPB.在菱形ABC
10、D中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，平面DEF平面PGB.由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD，平面DEF平面ABCD.立体几何中的垂直关系有三类：线线垂直、线面垂直、面面垂直.处理垂直问题时，要注意三者之间的内在联系.转化思想是立体几何中解决垂直问题的重要思想.垂直关系的转化如下：再练一题3.如图1626，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点.图1626(1)求证：EF平面PAB；(2)若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90，求证：平面PEF平面PBC.【证明】(1)E，F分别为AC，BC的中点，EFAB.又EF平
11、面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.(2)PAPC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEBC.又F为BC的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，BC平面PEF.又BC平面PBC，平面PBC平面PEF.1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面与直线m垂直，则直线n与平面的关系是()A.nB.n或nC.n或n与不平行D.n【解析】l，且l与n异面，n.又m，nm，n.【答案】A2.已知平面平面，l，点Pl，给出下面四个结论：过P与l垂直的直线在内；过P与垂直的直线在内；过P与l垂直的直线必与垂直；过P与垂直的平面必与l垂直.其中正确
12、的命题是()A. B. C. D.【解析】因为，l，Pl，所以过点P作的垂直直线必在平面内且和l垂直，的情况则可能成立，也可能不成立.【答案】A3.已知a，b为直线，为平面.在下列四个结论中，正确的是_.若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，a，则；若b，b，则.【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知正确；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知错；由“垂直于同一直线的两平面平行”知正确；错.【答案】4.如图1627，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90，PA1，AB2，则PB_.图1627【解析】侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)，PA平面ABC，PAAB，PB.【答案】5.如图1628，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN平面ABC.【导学号：39292041】图1628【证明】M，N分别是EA与EC的中点，MNAC，AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，DB平面ABC，EC平面ABC，BDEC，四边形BDEC为直角梯形，N为EC中点，EC2BD，NCBD，四边形BCND为矩形，DNBC，又DN平面ABC，BC平面ABC，DN平面ABC，又MNDNN，且MN、DN平面DMN，平面DMN平面ABC.9
