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1、课时跟踪检测(三十六)等比数列及其前n项和一、题点全面练1(2019武汉联考)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7B5C5 D7解析：选D由解得或 或a1a10a1(1q9)7.2设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于()A. B.C. D.解析：选B设数列an的公比为q，则显然q1，由题意得解得或(舍去)，S5.3(2018邵阳二模)设Sn是等比数列an的前n项和，若3，则()A2 B.C. D1或2解析：选B设S2k，S43k，数列an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，又S2k，S4S22k，S6S4
2、4k，S67k，故选B.4(2018安庆二模)数列an满足：an1an1(nN*，R且0)，若数列an1是等比数列，则的值等于()A1 B1C. D2解析：选D由an1an1，得an11an2.由于数列an1是等比数列，所以1，得2.5一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是()A13 B12C11 D10解析：选B设该等比数列为an，其前n项积为Tn，则由已知得a1a2a33，an2an1an9，(a1an)33933，a1an3，又Tna1a2an1ananan1a2a1，T(a1an)n，即72923n，n12.6(2019重庆调研)在各项均
3、为正数的等比数列an中，若a55，则log5a1log5a2log5a9_.解析：因为数列an是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a1a9a2a8a3a7a4a6a52，则log5a1log5a2log5a9log5(a1a2a9)log5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5log5alog5599.答案：97设各项都是正数的等比数列an的前n项和为Sn，且S1010，S3070，那么S40_.解析：易知S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S
4、2030.又S200，所以S2030，S20S1020，S30S2040，故S40S3080，所以S40150.答案：1508在等比数列an中，若a1a2a3a4，a2a3，则_.解析：.在等比数列an中，a1a4a2a3，原式.答案：9(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由
5、Sm63，得2m64，解得m6.综上，m6.10已知数列an的首项a10，an1(nN*)，且a1.(1)求证：是等比数列，并求出an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)证明：记bn1，则，又b111，所以是首项为，公比为的等比数列所以1n1，即an.所以数列an的通项公式为an.(2)由(1)知，1n1，即n11.所以数列的前n项和Tnnn.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1各项均为正数的等比数列an中，若a11，a22，a33，则a4的取值范围是_解析：设an的公比为q，则根据题意得q，q2，a4a3q，a4a2q28，a4.答案：2已知四个数成等比数列，其积为1，第
6、二项与第三项之和为，求这四个数解：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则由题意知，得把a2q2代入，得q2q10，此方程无解；把a2q2代入，得q2q10，解此方程得q或q4.当q时，a8；当q4时，a.所以这四个数为8，2，或，2,8.(二)交汇专练融会巧迁移3与方程交汇在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A2 BC D.解：选B根据根与系数之间的关系得a3a74，a3a72，由a3a740，a3a70，得a30，a70，即a50，由a3a7a，得a5.故选B.4与集合交汇设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有
7、连续四项在集合53，23,19,37,82中，则q等于()A B.C D.解：选Cbn有连续四项在53，23,19,37,82中且bnan1，即anbn1，则an有连续四项在54，24,18,36,81中an是等比数列，等比数列中有负数项，q0，且负数项为相隔两项，又|q|1，等比数列各项的绝对值递增按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，24,36，54，81，相邻两项相除，则可得24,36，54,81是an中连续的四项q.5与等差数列的交汇已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，公比是q，且满足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an与bn；(2)设c
8、n3bn2 (R)，若数列cn是递增数列，求的取值范围解：(1)由已知可得所以q2q120，解得q3或q4(舍去)，从而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn23n2n.由题意，知cn1cn对任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2n对任意的nN*恒成立由于函数yn在1，)上是增函数，所以min23，故3，即的取值范围是(，3)(三)素养专练学会更学通6逻辑推理已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行、第二行、第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an_(nN*).第一列第二列第三列第一行1102第二行6144第三行9188解析：观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即an是首项为2，公比为3的等比数列，an23n1.答案：23n17数学建模一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB210 KB)解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，2n64210216，n16，即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟)答案：48- 6 -
